Рациональные и… — Задание ЕГЭ по математике №00024685

Степень корня нечётная, поэтому никаких ограничений на знак правой части нет: ОДЗ — все числа, посторонние корни не возникнут.

Возводим обе части в куб.

$$4x+3=x^3$$

Переносим всё в одну сторону — получаем кубическое уравнение.

$$x^3-4x-3=0$$

Целый корень такого уравнения нужно искать среди делителей свободного члена $-3$: это $\pm 1$ и $\pm 3$. Пробуем $x=-1$.

$$(-1)^3-4\cdot(-1)-3=-1+4-3=0$$

Значит $x=-1$ — корень, а многочлен делится на $(x+1)$. Делим уголком и получаем разложение.

$$x^3-4x-3=(x+1)(x^2-x-3)$$

Первую скобку мы уже разобрали, приравниваем к нулю вторую.

$$x^2-x-3=0$$

Считаем дискриминант при $a=1$, $b=-1$, $c=-3$.

$$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-3)=1+12=13$$

Число 13 не является точным квадратом, поэтому корень так и останется в ответе.

$$x=\frac{1\pm\sqrt{13}}{2}$$

Итого три корня, и все они годятся: у нечётной степени ограничений нет, проверять на посторонние нечего.