ID: 00024685
Решите уравнение: $\sqrt[3]{4x+3}=x$.
Ответ дайте выражением. Корень записывайте буквами sqrt, степень — через ^. Например: 3sqrt5, x^2. Если значений несколько, перечислите их через точку с запятой.
Источник: Global_EE
Степень корня нечётная, поэтому никаких ограничений на знак правой части нет: ОДЗ — все числа, посторонние корни не возникнут.
Возводим обе части в куб.
$$4x+3=x^3$$
Переносим всё в одну сторону — получаем кубическое уравнение.
$$x^3-4x-3=0$$
Целый корень такого уравнения нужно искать среди делителей свободного члена $-3$: это $\pm 1$ и $\pm 3$. Пробуем $x=-1$.
$$(-1)^3-4\cdot(-1)-3=-1+4-3=0$$
Значит $x=-1$ — корень, а многочлен делится на $(x+1)$. Делим уголком и получаем разложение.
$$x^3-4x-3=(x+1)(x^2-x-3)$$
Первую скобку мы уже разобрали, приравниваем к нулю вторую.
$$x^2-x-3=0$$
Считаем дискриминант при $a=1$, $b=-1$, $c=-3$.
$$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-3)=1+12=13$$
Число 13 не является точным квадратом, поэтому корень так и останется в ответе.
$$x=\frac{1\pm\sqrt{13}}{2}$$
Итого три корня, и все они годятся: у нечётной степени ограничений нет, проверять на посторонние нечего.