Рациональные и… — Задание ЕГЭ по математике №00024671

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель нулю не равен. Здесь второе условие сыграет решающую роль.

Разбираем знаменатель. По теореме Виета для $x^2-3x-4$ нужны числа с суммой $3$ и произведением $-4$ — это $4$ и $-1$.

$$(x-4)(x+1)\ne 0\ \Rightarrow\ x\ne 4,\quad x\ne -1$$

Теперь числитель. Это разность квадратов.

$$x^2-16=0$$

$$(x-4)(x+4)=0$$

$$x=4,\qquad x=-4$$

Сверяем с ОДЗ. Кандидат $x=4$ запрещён: при нём знаменатель обращается в ноль, дробь не существует. Это посторонний корень — он появился из-за того, что множитель $(x-4)$ есть и сверху, и снизу.

Кандидат $x=-4$ проходит: знаменатель равен $16+12-4=24\ne 0$.