Задание ЕГЭ по математике: Диагонали параллелограмма пересекаются под прямым углом, сторона…
№2. Задание без номера
ID: 00024599
Диагонали параллелограмма пересекаются под прямым углом, сторона AB = 17, одна из диагоналей равна 16. Найдите вторую диагональ и докажите, что этот параллелограмм — ромб.
Источник: Global_EE
Решение
Обозначим параллелограмм ABCD, точку пересечения диагоналей — O (в условии дана только сторона AB, остальные имена вводим сами).
Сначала доказательство. В любом параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам, то есть AO = OC. По условию диагонали ещё и перпендикулярны, значит BO — это одновременно и медиана, и высота треугольника ABC.
Треугольник, в котором медиана совпадает с высотой, равнобедренный: AB = BC. А параллелограмм, у которого соседние стороны равны, — это ромб. Значит ABCD — ромб.
Теперь счёт. Половина известной диагонали:
\frac{16}{2} = 8
Треугольник ABO прямоугольный: гипотенуза AB = 17, катет — половина первой диагонали, второй катет — половина искомой. Обозначим её m и применим теорему Пифагора.
m^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225
m = 15
Это половина, поэтому вся вторая диагональ вдвое больше.
2\cdot 15 = 30