Четырёхугольник… — Задание ЕГЭ по математике №00024599

Обозначим параллелограмм $ABCD$, точку пересечения диагоналей — $O$ (в условии дана только сторона $AB$, остальные имена вводим сами).

Сначала доказательство. В любом параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам, то есть $AO = OC$. По условию диагонали ещё и перпендикулярны, значит $BO$ — это одновременно и медиана, и высота треугольника $ABC$.

Треугольник, в котором медиана совпадает с высотой, равнобедренный: $AB = BC$. А параллелограмм, у которого соседние стороны равны, — это ромб. Значит $ABCD$ — ромб.

Теперь счёт. Половина известной диагонали:

$$\frac{16}{2} = 8$$

Треугольник $ABO$ прямоугольный: гипотенуза $AB = 17$, катет — половина первой диагонали, второй катет — половина искомой. Обозначим её $m$ и применим теорему Пифагора.

$$m^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$$

$$m = 15$$

Это половина, поэтому вся вторая диагональ вдвое больше.

$$2\cdot 15 = 30$$