ID: 00024595
Диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам: AO = OC = 9, BO = OD = 6{,}5. Найдите диагонали и докажите, что этот четырёхугольник — параллелограмм.
Источник: Global_EE
Обозначим четырёхугольник ABCD, а точку пересечения его диагоналей — O (в условии буквы даны сразу, без описания фигуры).
Смотрим, что делает точка O: из равенств AO = OC и BO = OD видно, что она делит каждую диагональ ровно пополам.
А это и есть признак параллелограмма: если диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, то это параллелограмм. Значит ABCD — параллелограмм.
Почему признак работает: треугольники AOB и COD равны по двум сторонам и углу между ними (углы при точке O вертикальные, а значит равные). Отсюда AB = CD и накрест лежащие углы равны, то есть AB \parallel CD. Четырёхугольник, у которого пара сторон равна и параллельна, — параллелограмм.
Теперь длины. Диагональ AC складывается из двух своих кусков.
AC = AO + OC = 9 + 9 = 18
Точно так же собираем вторую диагональ.
BD = BO + OD = 6{,}5 + 6{,}5 = 13