Четырёхугольник… — Задание ЕГЭ по математике №00024595

Обозначим четырёхугольник $ABCD$, а точку пересечения его диагоналей — $O$ (в условии буквы даны сразу, без описания фигуры).

Смотрим, что делает точка $O$: из равенств $AO = OC$ и $BO = OD$ видно, что она делит каждую диагональ ровно пополам.

А это и есть признак параллелограмма: если диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, то это параллелограмм. Значит $ABCD$ — параллелограмм.

Почему признак работает: треугольники $AOB$ и $COD$ равны по двум сторонам и углу между ними (углы при точке $O$ вертикальные, а значит равные). Отсюда $AB = CD$ и накрест лежащие углы равны, то есть $AB \parallel CD$. Четырёхугольник, у которого пара сторон равна и параллельна, — параллелограмм.

Теперь длины. Диагональ $AC$ складывается из двух своих кусков.

$$AC = AO + OC = 9 + 9 = 18$$

Точно так же собираем вторую диагональ.

$$BD = BO + OD = 6{,}5 + 6{,}5 = 13$$