ID: 00024595
Диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам: $AO = OC = 9$, $BO = OD = 6{,}5$. Найдите диагонали и докажите, что этот четырёхугольник — параллелограмм.
Ответ дайте целым числом. Если значений несколько, перечислите их через точку с запятой.
Источник: Global_EE
Обозначим четырёхугольник $ABCD$, а точку пересечения его диагоналей — $O$ (в условии буквы даны сразу, без описания фигуры).
Смотрим, что делает точка $O$: из равенств $AO = OC$ и $BO = OD$ видно, что она делит каждую диагональ ровно пополам.
А это и есть признак параллелограмма: если диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, то это параллелограмм. Значит $ABCD$ — параллелограмм.
Почему признак работает: треугольники $AOB$ и $COD$ равны по двум сторонам и углу между ними (углы при точке $O$ вертикальные, а значит равные). Отсюда $AB = CD$ и накрест лежащие углы равны, то есть $AB \parallel CD$. Четырёхугольник, у которого пара сторон равна и параллельна, — параллелограмм.
Теперь длины. Диагональ $AC$ складывается из двух своих кусков.
$$AC = AO + OC = 9 + 9 = 18$$
Точно так же собираем вторую диагональ.
$$BD = BO + OD = 6{,}5 + 6{,}5 = 13$$