Арифметический… — Задание ЕГЭ по математике №00024587

То, что 19 — «некрасивое» число и корень из него не извлекается нацело, значения не имеет.

Корень, умноженный сам на себя, — это корень в квадрате, а возведение в квадрат отменяет корень:

$$\sqrt{19}\cdot\sqrt{19}=\left(\sqrt{19}\right)^2=19$$

Можно и так: $\sqrt{19}\cdot\sqrt{19}=\sqrt{19\cdot 19}=\sqrt{361}=19$.