ID: 00024517
В прямоугольном треугольнике высота, проведённая к гипотенузе, равна $CH = 8$, а отрезок гипотенузы $AH = 4$. Найдите отрезок гипотенузы $BH$, саму гипотенузу $AB$ и катеты $AC$ и $BC$.
Ответ дайте выражением. Корень записывайте буквами sqrt, степень — через ^. Например: 3sqrt5, x^2. Если значений несколько, перечислите их через точку с запятой.
Источник: Global_EE
В прямоугольном треугольнике с высотой из прямого угла работают три родственных соотношения. Первое: квадрат высоты равен произведению отрезков гипотенузы.
$$CH^2 = AH \cdot BH$$
Подставим известное и найдём $BH$:
$$8^2 = 4 \cdot BH \quad \Rightarrow \quad 64 = 4 \cdot BH \quad \Rightarrow \quad BH = 16$$
Вся гипотенуза — это сумма двух её кусков:
$$AB = AH + BH = 4 + 16 = 20$$
Второе соотношение: квадрат катета равен произведению всей гипотенузы на прилежащий к этому катету отрезок. Для катета $AC$ прилежащий отрезок — это $AH$:
$$AC^2 = AB \cdot AH = 20 \cdot 4 = 80$$
Извлекаем корень, разложив $80 = 16 \cdot 5$:
$$AC = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$$
Для катета $BC$ прилежащий отрезок — это $BH$:
$$BC^2 = AB \cdot BH = 20 \cdot 16 = 320$$
Разложим $320 = 64 \cdot 5$:
$$BC = \sqrt{320} = \sqrt{64 \cdot 5} = 8\sqrt{5}$$
Проверка по теореме Пифагора: $(4\sqrt{5})^2 + (8\sqrt{5})^2 = 80 + 320 = 400 = 20^2$ — сходится.