Треугольники

Задание №23. Азы Математики

№2. Задание без номера

ID: 00024517

В прямоугольном треугольнике высота, проведённая к гипотенузе, равна $$CH = 8$$ , а отрезок гипотенузы $$AH = 4$$ . Найдите отрезок гипотенузы $$BH$$ , саму гипотенузу $$AB$$ и катеты $$AC$$ и $$BC$$ .

Ответ дайте выражением. Корень записывайте буквами sqrt, степень — через ^. Например: 3sqrt5, x^2. Если значений несколько, перечислите их через точку с запятой.

Источник: Global_EE

Решение

В прямоугольном треугольнике с высотой из прямого угла работают три родственных соотношения. Первое: квадрат высоты равен произведению отрезков гипотенузы.

$CH^2 = AH \cdot BH$

Подставим известное и найдём $$BH$$ :

$8^2 = 4 \cdot BH \quad \Rightarrow \quad 64 = 4 \cdot BH \quad \Rightarrow \quad BH = 16$

Вся гипотенуза — это сумма двух её кусков:

$$$AB = AH + BH = 4 + 16 = 20$$$

Второе соотношение: квадрат катета равен произведению всей гипотенузы на прилежащий к этому катету отрезок. Для катета $$AC$$ прилежащий отрезок — это $$AH$$ :

$AC^2 = AB \cdot AH = 20 \cdot 4 = 80$

Извлекаем корень, разложив $80 = 16 \cdot 5$ :

$AC = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$

Для катета $$BC$$ прилежащий отрезок — это $$BH$$ :

$BC^2 = AB \cdot BH = 20 \cdot 16 = 320$

Разложим $320 = 64 \cdot 5$ :

$BC = \sqrt{320} = \sqrt{64 \cdot 5} = 8\sqrt{5}$

Проверка по теореме Пифагора: $(4\sqrt{5})^2 + (8\sqrt{5})^2 = 80 + 320 = 400 = 20^2$ — сходится.

Ответ

BH=16; AB=20; AC=4sqrt5; BC=8sqrt5 / BH=16, AB=20, AC=4√5, BC=8√5 / 16; 20; 4sqrt5; 8sqrt5 / 16; 20; 4√5; 8√5 / 16, 20, 4 корень из 5, 8 корень из 5 / 16; 20; 4*sqrt(5); 8*sqrt(5) / BH=16; AB=20; AC=4sqrt(5); BC=8sqrt(5) / BH=16; AB=20; AC=4*sqrt5; BC=8*sqrt5 / 16; 20; 4sqrt(5); 8sqrt(5) / 16; 20; 4*sqrt5; 8*sqrt5

Другие задания по теме «Треугольники» (8)