Задание ЕГЭ по математике: В прямоугольном треугольнике высота, проведённая к гипотенузе,…
№2. Задание без номера
ID: 00024517
В прямоугольном треугольнике высота, проведённая к гипотенузе, равна CH = 8, а отрезок гипотенузы AH = 4. Найдите отрезок гипотенузы BH, саму гипотенузу AB и катеты AC и BC.
Источник: Global_EE
Решение
В прямоугольном треугольнике с высотой из прямого угла работают три родственных соотношения. Первое: квадрат высоты равен произведению отрезков гипотенузы.
CH^2 = AH \cdot BH
Подставим известное и найдём BH:
8^2 = 4 \cdot BH \quad \Rightarrow \quad 64 = 4 \cdot BH \quad \Rightarrow \quad BH = 16
Вся гипотенуза — это сумма двух её кусков:
AB = AH + BH = 4 + 16 = 20
Второе соотношение: квадрат катета равен произведению всей гипотенузы на прилежащий к этому катету отрезок. Для катета AC прилежащий отрезок — это AH:
AC^2 = AB \cdot AH = 20 \cdot 4 = 80
Извлекаем корень, разложив 80 = 16 \cdot 5:
AC = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}
Для катета BC прилежащий отрезок — это BH:
BC^2 = AB \cdot BH = 20 \cdot 16 = 320
Разложим 320 = 64 \cdot 5:
BC = \sqrt{320} = \sqrt{64 \cdot 5} = 8\sqrt{5}
Проверка по теореме Пифагора: (4\sqrt{5})^2 + (8\sqrt{5})^2 = 80 + 320 = 400 = 20^2 — сходится.