Треугольники — Задание ЕГЭ по математике №00024512

Идея такая: площадь одного и того же треугольника можно посчитать двумя способами, и оба ответа обязаны совпасть.

Первый способ: катеты прямоугольного треугольника перпендикулярны друг другу, поэтому один катет — основание, другой — высота:

$$S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = 54$$

Второй способ: за основание берём гипотенузу, а высотой служит искомый отрезок $h$. Сначала найдём гипотенузу по теореме Пифагора:

$$c = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$$

Тогда площадь через гипотенузу:

$$S = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot h$$

Приравниваем оба выражения площади:

$$\frac{1}{2} \cdot 15 \cdot h = 54$$

Умножаем обе части на $2$ и делим на $15$:

$$h = \frac{2 \cdot 54}{15} = \frac{108}{15} = 7{,}2$$