Задание ЕГЭ по математике: В прямоугольном треугольнике катеты равны 9 и 12 . Найдите…

Идея такая: площадь одного и того же треугольника можно посчитать двумя способами, и оба ответа обязаны совпасть.

Первый способ: катеты прямоугольного треугольника перпендикулярны друг другу, поэтому один катет — основание, другой — высота:

S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = 54

Второй способ: за основание берём гипотенузу, а высотой служит искомый отрезок h. Сначала найдём гипотенузу по теореме Пифагора:

c = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15

Тогда площадь через гипотенузу:

S = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot h

Приравниваем оба выражения площади:

\frac{1}{2} \cdot 15 \cdot h = 54

Умножаем обе части на 2 и делим на 15:

h = \frac{2 \cdot 54}{15} = \frac{108}{15} = 7{,}2