В треугольнике ABC медиана, проведённая из вершины C , оказалась также высотой. Известно, что AB равно 18 и медиана CM равно 40 . Найдите боковые стороны.

Задание ЕГЭ по математике: В треугольнике ABC медиана, проведённая из вершины C , оказалась…

№2. Задание без номера

ID: 00024502

В треугольнике $ABC$ медиана, проведённая из вершины $C$ , оказалась также высотой. Известно, что $AB=18$ и медиана $CM=40$ . Найдите боковые стороны.

Источник: Global_EE

Решение

Если медиана треугольника одновременно является высотой, то треугольник равнобедренный: отрезок $CM$ и делит сторону $AB$ пополам, и стоит к ней под прямым углом. Поэтому боковые стороны $CA$ и $CB$ равны.

Раз $M$ — середина $AB$ , каждая половинка равна:

$AM=MB=\frac{18}{2}=9$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ACM$ : у него катеты $AM=9$ и $CM=40$ , а гипотенуза — искомая боковая сторона $CA$ .

По теореме Пифагора:

$CA^2=9^2+40^2$

Считаем квадраты: $9^2=81$ , $40^2=1600$ .

$CA^2=81+1600=1681$

Извлекаем корень:

$CA=\sqrt{1681}=41$

Вторая боковая сторона такая же: $CB=41$ .

Ответ