ID: 00024502
В треугольнике $ABC$ медиана, проведённая из вершины $C$, оказалась также высотой. Известно, что $AB=18$ и медиана $CM=40$. Найдите боковые стороны.
Ответ дайте целым числом.
Источник: Global_EE
Если медиана треугольника одновременно является высотой, то треугольник равнобедренный: отрезок $CM$ и делит сторону $AB$ пополам, и стоит к ней под прямым углом. Поэтому боковые стороны $CA$ и $CB$ равны.
Раз $M$ — середина $AB$, каждая половинка равна:
$$AM=MB=\frac{18}{2}=9$$
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ACM$: у него катеты $AM=9$ и $CM=40$, а гипотенуза — искомая боковая сторона $CA$.
По теореме Пифагора:
$$CA^2=9^2+40^2$$
Считаем квадраты: $9^2=81$, $40^2=1600$.
$$CA^2=81+1600=1681$$
Извлекаем корень:
$$CA=\sqrt{1681}=41$$
Вторая боковая сторона такая же: $CB=41$.