ID: 00024494
Периметр треугольника ABC равен 56, AB:BC=2:5, биссектриса делит сторону AC на отрезки, один из которых AB_1=6. Найдите все стороны треугольника.
Источник: Global_EE
Биссектриса из вершины B делит сторону AC на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам AB и BC.
\frac{AB_1}{B_1C}=\frac{AB}{BC}=\frac{2}{5}
Известен отрезок AB_1=6, найдём второй отрезок из пропорции:
\frac{6}{B_1C}=\frac{2}{5}
Перемножаем крест-накрест: 2\cdot B_1C=6\cdot 5=30, значит B_1C=15.
Вся сторона AC — это сумма двух отрезков:
AC=6+15=21
Теперь периметр. Он равен сумме трёх сторон, поэтому на две оставшиеся стороны приходится:
AB+BC=56-21=35
Эти стороны относятся как 2:5. Обозначим долю x: AB=2x, BC=5x.
2x+5x=35
7x=35
x=5
Тогда AB=2\cdot 5=10 и BC=5\cdot 5=25.
Проверка периметра: 10+25+21=56 — сходится.
Проверка неравенства треугольника (сумма любых двух сторон должна быть больше третьей): 10+25=35 \gt 21, 10+21=31 \gt 25, 25+21=46 \gt 10 — такой треугольник существует.