Треугольники — Задание ЕГЭ по математике №00024494

Биссектриса из вершины $B$ делит сторону $AC$ на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам $AB$ и $BC$.

$$\frac{AB_1}{B_1C}=\frac{AB}{BC}=\frac{2}{5}$$

Известен отрезок $AB_1=6$, найдём второй отрезок из пропорции:

$$\frac{6}{B_1C}=\frac{2}{5}$$

Перемножаем крест-накрест: $2\cdot B_1C=6\cdot 5=30$, значит $B_1C=15$.

Вся сторона $AC$ — это сумма двух отрезков:

$$AC=6+15=21$$

Теперь периметр. Он равен сумме трёх сторон, поэтому на две оставшиеся стороны приходится:

$$AB+BC=56-21=35$$

Эти стороны относятся как $2:5$. Обозначим долю $x$: $AB=2x$, $BC=5x$.

$$2x+5x=35$$

$$7x=35$$

$$x=5$$

Тогда $AB=2\cdot 5=10$ и $BC=5\cdot 5=25$.

Проверка периметра: $10+25+21=56$ — сходится.

Проверка неравенства треугольника (сумма любых двух сторон должна быть больше третьей): $10+25=35 \gt 21$, $10+21=31 \gt 25$, $25+21=46 \gt 10$ — такой треугольник существует.