ID: 00024494
Периметр треугольника $ABC$ равен $56$, $AB:BC=2:5$, биссектриса делит сторону $AC$ на отрезки, один из которых $AB_1=6$. Найдите все стороны треугольника.
Ответ дайте целым числом. Если значений несколько, перечислите их через точку с запятой.
Источник: Global_EE
Биссектриса из вершины $B$ делит сторону $AC$ на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам $AB$ и $BC$.
$$\frac{AB_1}{B_1C}=\frac{AB}{BC}=\frac{2}{5}$$
Известен отрезок $AB_1=6$, найдём второй отрезок из пропорции:
$$\frac{6}{B_1C}=\frac{2}{5}$$
Перемножаем крест-накрест: $2\cdot B_1C=6\cdot 5=30$, значит $B_1C=15$.
Вся сторона $AC$ — это сумма двух отрезков:
$$AC=6+15=21$$
Теперь периметр. Он равен сумме трёх сторон, поэтому на две оставшиеся стороны приходится:
$$AB+BC=56-21=35$$
Эти стороны относятся как $2:5$. Обозначим долю $x$: $AB=2x$, $BC=5x$.
$$2x+5x=35$$
$$7x=35$$
$$x=5$$
Тогда $AB=2\cdot 5=10$ и $BC=5\cdot 5=25$.
Проверка периметра: $10+25+21=56$ — сходится.
Проверка неравенства треугольника (сумма любых двух сторон должна быть больше третьей): $10+25=35 \gt 21$, $10+21=31 \gt 25$, $25+21=46 \gt 10$ — такой треугольник существует.