Треугольники — Задание ЕГЭ по математике №00024483

Средняя линия отсекает от треугольника маленький треугольник $MBN$. У него угол при вершине $B$ общий с большим треугольником, а стороны $BM$ и $BN$ ровно вдвое короче сторон $BA$ и $BC$.

Значит, маленький треугольник подобен большому с коэффициентом $k=\frac{1}{2}$.

Площади подобных фигур относятся не как $k$, а как $k^2$ — потому что «сжимаются» сразу оба измерения.

$$S_{MBN}=k^2\cdot S_{ABC}=\left(\frac{1}{2}\right)^2\cdot S_{ABC}$$

Считаем квадрат коэффициента: $\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$.

$$S_{MBN}=\frac{1}{4}\cdot 36=9$$