Задание ЕГЭ по математике №00024472

Раскладывать на множители — значит превратить сумму в произведение. Здесь помогает формула суммы кубов, но сначала надо увидеть, что оба слагаемых — кубы.

Первое слагаемое уже куб: $x^3$. Второе тоже: $8=2\cdot 2\cdot 2=2^3$.

$$x^3+8=x^3+2^3$$

Формула суммы кубов словами: сумма кубов равна произведению суммы оснований на «неполный квадрат разности» — квадрат первого, минус произведение первого на второе, плюс квадрат второго.

$$u^3+v^3=(u+v)\left(u^2-uv+v^2\right)$$

Подставляем $u=x$, $v=2$ и собираем вторую скобку по кусочкам: квадрат первого $x^2$, произведение оснований $x\cdot 2=2x$ (с минусом), квадрат второго $2^2=4$.

$$x^3+8=(x+2)\left(x^2-2x+4\right)$$

Слово «неполный» здесь важно: в средней части стоит просто произведение $uv$, без двойки, в отличие от квадрата разности.