ID: 00024454
Решите уравнение: $\log_2 (x^{2}-5x+7)=\log_2 (x+1)$.
Ответ дайте выражением. Корень записывайте буквами sqrt, степень — через ^. Например: 3sqrt5, x^2. Если значений несколько, перечислите их через точку с запятой.
Источник: Global_EE
Основания логарифмов одинаковые, поэтому выражения под ними равны. Условие существования логарифмов: оба выражения строго положительны; удобно проверять по правой части $x+1\gt 0$, то есть $x\gt -1$, а потом подставлять корни.
$$x^{2}-5x+7=x+1$$
Переносим всё влево.
$$x^{2}-6x+6=0$$
Считаем дискриминант.
$$D=(-6)^{2}-4\cdot 1\cdot 6=36-24=12$$
Корень из 12 упростим: $\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}$.
$$x=\frac{6\pm 2\sqrt{3}}{2}=3\pm\sqrt{3}$$
Получились два корня: $x=3+\sqrt{3}$ и $x=3-\sqrt{3}$.
Проверяем ОДЗ. Число $\sqrt{3}$ примерно равно 1,7, поэтому $3-\sqrt{3}\approx 1{,}3$ и $3+\sqrt{3}\approx 4{,}7$ — оба больше $-1$, значит $x+1\gt 0$ выполняется. А раз левое выражение равно правому, оно тоже положительно. Оба корня подходят.