Решите уравнение: log по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате минус 5x плюс 7 правая круглая скобка равно log по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка .

Задание ЕГЭ по математике: Решите уравнение: log по основанию 2 левая круглая скобка x в…

№2. Задание без номера

ID: 00024454

Решите уравнение: $\log_2 (x^{2}-5x+7)=\log_2 (x+1)$ .

Источник: Global_EE

Решение

Основания логарифмов одинаковые, поэтому выражения под ними равны. Условие существования логарифмов: оба выражения строго положительны; удобно проверять по правой части $x+1\gt 0$ , то есть $x\gt -1$ , а потом подставлять корни.

$x^{2}-5x+7=x+1$

Переносим всё влево.

$x^{2}-6x+6=0$

Считаем дискриминант.

$D=(-6)^{2}-4\cdot 1\cdot 6=36-24=12$

Корень из 12 упростим: $\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}$ .

$x=\frac{6\pm 2\sqrt{3}}{2}=3\pm\sqrt{3}$

Получились два корня: $x=3+\sqrt{3}$ и $x=3-\sqrt{3}$ .

Проверяем ОДЗ. Число $\sqrt{3}$ примерно равно 1,7, поэтому $3-\sqrt{3}\approx 1{,}3$ и $3+\sqrt{3}\approx 4{,}7$ — оба больше $-1$ , значит $x+1\gt 0$ выполняется. А раз левое выражение равно правому, оно тоже положительно. Оба корня подходят.

Ответ

3+√3;3-√3 / 3-√3;3+√3 / x=3+√3; x=3−√3 / x=3+√3; x=3-√3 / 3±√3 / 3−√3; 3+√3