Global EE

Логарифмы — Задание ЕГЭ по математике №00024454

Задание №23. Азы Математики

Логарифмы

№2. Задание без номера

ID: 00024454

Решите уравнение: $\log_2 (x^{2}-5x+7)=\log_2 (x+1)$.

Ответ дайте выражением. Корень записывайте буквами sqrt, степень — через ^. Например: 3sqrt5, x^2. Если значений несколько, перечислите их через точку с запятой.

Источник: Global_EE

Решение

Основания логарифмов одинаковые, поэтому выражения под ними равны. Условие существования логарифмов: оба выражения строго положительны; удобно проверять по правой части $x+1\gt 0$, то есть $x\gt -1$, а потом подставлять корни.

$$x^{2}-5x+7=x+1$$

Переносим всё влево.

$$x^{2}-6x+6=0$$

Считаем дискриминант.

$$D=(-6)^{2}-4\cdot 1\cdot 6=36-24=12$$

Корень из 12 упростим: $\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}$.

$$x=\frac{6\pm 2\sqrt{3}}{2}=3\pm\sqrt{3}$$

Получились два корня: $x=3+\sqrt{3}$ и $x=3-\sqrt{3}$.

Проверяем ОДЗ. Число $\sqrt{3}$ примерно равно 1,7, поэтому $3-\sqrt{3}\approx 1{,}3$ и $3+\sqrt{3}\approx 4{,}7$ — оба больше $-1$, значит $x+1\gt 0$ выполняется. А раз левое выражение равно правому, оно тоже положительно. Оба корня подходят.

Ответ

3+sqrt3;3-sqrt3 / 3-sqrt3;3+sqrt3 / x=3+sqrt3; x=3-sqrt3 / 3+√3; 3−√3 / 3+√3;3-√3 / 3-√3;3+√3 / x=3+√3; x=3−√3 / x=3+√3; x=3-√3 / 3±√3 / 3−√3; 3+√3 / 3+sqrt(3);3-sqrt(3) / 3-sqrt(3);3+sqrt(3) / x=3+sqrt(3); x=3-sqrt(3) / 3+sqrt3; 3-sqrt3 / 3-sqrt3; 3+sqrt3
Другие задания по теме «Логарифмы» (8)