Решите уравнение: log по основанию 3 левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка равно log по основанию 3 левая круглая скобка 2x плюс 2 правая круглая скобка .

Задание ЕГЭ по математике: Решите уравнение: log по основанию 3 левая круглая скобка x в…

№2. Задание без номера

ID: 00024452

Решите уравнение: $\log_3 (x^{2}-1)=\log_3 (2x+2)$ .

Источник: Global_EE

Решение

Основания одинаковые, значит выражения под логарифмами можно приравнять. Но обязательно нужна проверка ОДЗ: под знаком логарифма должно стоять строго положительное число.

$x^{2}-1\gt 0\quad\text{и}\quad 2x+2\gt 0$

Приравниваем выражения.

$x^{2}-1=2x+2$

Переносим всё в левую часть.

$x^{2}-2x-3=0$

Считаем дискриминант.

$D=(-2)^{2}-4\cdot 1\cdot(-3)=4+12=16$

Корень из дискриминанта равен 4.

$x_{1}=\frac{2+4}{2}=3,\qquad x_{2}=\frac{2-4}{2}=-1$

Теперь проверка. При $x=-1$ получаем $2x+2=0$ , а логарифм от нуля не существует — этот корень посторонний, его отбрасываем.

При $x=3$ : $x^{2}-1=8\gt 0$ и $2x+2=8\gt 0$ — всё хорошо.

Ответ