ID: 00024452
Решите уравнение: $\log_3 (x^{2}-1)=\log_3 (2x+2)$.
Ответ дайте целым числом.
Источник: Global_EE
Основания одинаковые, значит выражения под логарифмами можно приравнять. Но обязательно нужна проверка ОДЗ: под знаком логарифма должно стоять строго положительное число.
$$x^{2}-1\gt 0\quad\text{и}\quad 2x+2\gt 0$$
Приравниваем выражения.
$$x^{2}-1=2x+2$$
Переносим всё в левую часть.
$$x^{2}-2x-3=0$$
Считаем дискриминант.
$$D=(-2)^{2}-4\cdot 1\cdot(-3)=4+12=16$$
Корень из дискриминанта равен 4.
$$x_{1}=\frac{2+4}{2}=3,\qquad x_{2}=\frac{2-4}{2}=-1$$
Теперь проверка. При $x=-1$ получаем $2x+2=0$, а логарифм от нуля не существует — этот корень посторонний, его отбрасываем.
При $x=3$: $x^{2}-1=8\gt 0$ и $2x+2=8\gt 0$ — всё хорошо.