Логарифмы — Задание ЕГЭ по математике №00024452

Основания одинаковые, значит выражения под логарифмами можно приравнять. Но обязательно нужна проверка ОДЗ: под знаком логарифма должно стоять строго положительное число.

$$x^{2}-1\gt 0\quad\text{и}\quad 2x+2\gt 0$$

Приравниваем выражения.

$$x^{2}-1=2x+2$$

Переносим всё в левую часть.

$$x^{2}-2x-3=0$$

Считаем дискриминант.

$$D=(-2)^{2}-4\cdot 1\cdot(-3)=4+12=16$$

Корень из дискриминанта равен 4.

$$x_{1}=\frac{2+4}{2}=3,\qquad x_{2}=\frac{2-4}{2}=-1$$

Теперь проверка. При $x=-1$ получаем $2x+2=0$, а логарифм от нуля не существует — этот корень посторонний, его отбрасываем.

При $x=3$: $x^{2}-1=8\gt 0$ и $2x+2=8\gt 0$ — всё хорошо.