Логарифмы — Задание ЕГЭ по математике №00024445

Сначала про область допустимых значений (ОДЗ). У логарифма $\log_a b$ основание должно быть положительным и не равным единице, а число под знаком логарифма — строго положительным. Основание тут 2 — с ним всё в порядке, а выражение под логарифмом даёт условие:

$$x-1\gt 0,\qquad x\gt 1$$

Теперь само уравнение. Запись $\log_2 (x-1)=3$ по определению логарифма означает: двойку возвели в третью степень и получили $x-1$.

$$x-1=2^{3}$$

Считаем степень.

$$x-1=8$$

Переносим единицу вправо.

$$x=9$$

Проверяем ОДЗ: $9\gt 1$ — подходит.