ID: 00024430
Упростите: $\log_9 25$.
Ответ дайте выражением. Корень записывайте буквами sqrt, степень — через ^. Например: 3sqrt5, x^2.
Источник: Global_EE
Точного «красивого» числа тут не получится, но выражение можно сделать проще. Заметим, что и основание, и число под логарифмом — точные квадраты.
$$9=3^{2},\qquad 25=5^{2}$$
$$\log_9 25=\log_{3^{2}} 5^{2}$$
Перейдём к основанию 3 по формуле $\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}$.
$$\log_{3^{2}} 5^{2}=\frac{\log_3 5^{2}}{\log_3 3^{2}}$$
Показатели степеней выносим вперёд множителями, а $\log_3 3=1$.
$$\frac{2\log_3 5}{2\log_3 3}=\frac{2\log_3 5}{2}$$
Двойки сокращаются.
$$\log_9 25=\log_3 5$$
Общий вывод: если и основание, и число возвести в одну и ту же степень, логарифм не меняется.