ID: 00024385
В четырёхугольнике $ABCD$ углы $\angle BAC = 42^\circ$ и $\angle BDC = 42^\circ$ (опираются на одну сторону $BC$). Докажите, что $ABCD$ вписанный, и, зная $\angle BCD = 110^\circ$, найдите $\angle BAD$.
Ответ дайте в градусах.
Источник: Global_EE
Сначала доказательство. Точки $A$ и $D$ лежат по одну сторону от прямой $BC$, и из них отрезок $BC$ виден под одинаковыми углами по $42^\circ$.
Это ровно тот случай, который описывает признак: если из двух точек, лежащих по одну сторону от отрезка, этот отрезок виден под равными углами, то все четыре точки лежат на одной окружности.
Значит, точки $A$, $B$, $C$, $D$ лежат на одной окружности, то есть четырёхугольник $ABCD$ вписанный.
Теперь вторая часть. Для вписанного четырёхугольника противоположные углы дают в сумме $180^\circ$, а углы $BAD$ и $BCD$ как раз противоположные.
$$\angle BAD + \angle BCD = 180^\circ$$
Подставляем известный угол и вычитаем.
$$\angle BAD = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$$