Окружность — Задание ЕГЭ по математике №00024375

Центр вневписанной окружности лежит на пересечении внешних биссектрис углов $B$ и $C$ (и внутренней биссектрисы угла $A$).

Внешний угол при вершине $B$ равен $180^\circ - \angle B$, его половина — это угол внешней биссектрисы со стороной $BC$.

$$\angle I_aBC = \frac{180^\circ - \angle B}{2} = 90^\circ - \frac{\angle B}{2}$$

Точно так же со стороной $BC$ у вершины $C$.

$$\angle I_aCB = 90^\circ - \frac{\angle C}{2}$$

В треугольнике $BI_aC$ сумма углов равна $180^\circ$, поэтому искомый угол — это остаток.

$$\angle BI_aC = 180^\circ - \left(90^\circ - \frac{\angle B}{2}\right) - \left(90^\circ - \frac{\angle C}{2}\right) = \frac{\angle B + \angle C}{2}$$

А сумма $\angle B + \angle C$ равна $180^\circ - \angle A$.

$$\angle BI_aC = \frac{180^\circ - \angle A}{2} = 90^\circ - \frac{\angle A}{2}$$

Подставим $\angle A = 50^\circ$.

$$\angle BI_aC = 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ$$