ID: 00024375
В треугольнике $ABC$ точка $I_a$ — центр вневписанной окружности (окружности, касающейся стороны $BC$ и продолжений двух других сторон). Выведите формулу угла $\angle BI_aC$ через угол $A$ и найдите этот угол при $\angle A = 50^\circ$.
Ответ дайте в градусах.
Источник: Global_EE
Центр вневписанной окружности лежит на пересечении внешних биссектрис углов $B$ и $C$ (и внутренней биссектрисы угла $A$).
Внешний угол при вершине $B$ равен $180^\circ - \angle B$, его половина — это угол внешней биссектрисы со стороной $BC$.
$$\angle I_aBC = \frac{180^\circ - \angle B}{2} = 90^\circ - \frac{\angle B}{2}$$
Точно так же со стороной $BC$ у вершины $C$.
$$\angle I_aCB = 90^\circ - \frac{\angle C}{2}$$
В треугольнике $BI_aC$ сумма углов равна $180^\circ$, поэтому искомый угол — это остаток.
$$\angle BI_aC = 180^\circ - \left(90^\circ - \frac{\angle B}{2}\right) - \left(90^\circ - \frac{\angle C}{2}\right) = \frac{\angle B + \angle C}{2}$$
А сумма $\angle B + \angle C$ равна $180^\circ - \angle A$.
$$\angle BI_aC = \frac{180^\circ - \angle A}{2} = 90^\circ - \frac{\angle A}{2}$$
Подставим $\angle A = 50^\circ$.
$$\angle BI_aC = 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ$$