Задание ЕГЭ по математике: В треугольнике ABC точка I индекс a — центр вневписанной…
№2. Задание без номера
ID: 00024375
В треугольнике ABC точка I_a — центр вневписанной окружности (окружности, касающейся стороны BC и продолжений двух других сторон). Выведите формулу угла \angle BI_aC через угол A и найдите этот угол при \angle A = 50^\circ.
Источник: Global_EE
Решение
Центр вневписанной окружности лежит на пересечении внешних биссектрис углов B и C (и внутренней биссектрисы угла A).
Внешний угол при вершине B равен 180^\circ - \angle B, его половина — это угол внешней биссектрисы со стороной BC.
\angle I_aBC = \frac{180^\circ - \angle B}{2} = 90^\circ - \frac{\angle B}{2}
Точно так же со стороной BC у вершины C.
\angle I_aCB = 90^\circ - \frac{\angle C}{2}
В треугольнике BI_aC сумма углов равна 180^\circ, поэтому искомый угол — это остаток.
\angle BI_aC = 180^\circ - \left(90^\circ - \frac{\angle B}{2}\right) - \left(90^\circ - \frac{\angle C}{2}\right) = \frac{\angle B + \angle C}{2}
А сумма \angle B + \angle C равна 180^\circ - \angle A.
\angle BI_aC = \frac{180^\circ - \angle A}{2} = 90^\circ - \frac{\angle A}{2}
Подставим \angle A = 50^\circ.
\angle BI_aC = 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ