Окружность — Задание ЕГЭ по математике №00024372

Обозначим углы треугольника $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$. Их сумма равна $180^\circ$.

В треугольнике $AIB$ при вершинах $A$ и $B$ стоят половины углов треугольника, потому что $AI$ и $BI$ — биссектрисы.

$$\angle AIB = 180^\circ - \frac{\angle A}{2} - \frac{\angle B}{2}$$

Вынесем половину за скобку.

$$\angle AIB = 180^\circ - \frac{\angle A + \angle B}{2}$$

Но сумму $\angle A + \angle B$ мы знаем через угол $C$: она равна $180^\circ - \angle C$.

$$\angle AIB = 180^\circ - \frac{180^\circ - \angle C}{2} = 180^\circ - 90^\circ + \frac{\angle C}{2}$$

Получаем компактную формулу — её полезно запомнить.

$$\angle AIB = 90^\circ + \frac{\angle C}{2}$$

Подставим $\angle C = 50^\circ$.

$$\angle AIB = 90^\circ + \frac{50^\circ}{2} = 90^\circ + 25^\circ = 115^\circ$$