ID: 00024370
Из точки $P$ проведены касательные $PA$ и $PB$ с углом между ними $\angle APB = 60^\circ$. Найдите угол $\angle AOB$ между радиусами, проведёнными в точки касания.
Ответ дайте в градусах.
Источник: Global_EE
Соединим центр $O$ с точками касания $A$ и $B$ и с точкой $P$. Получится четырёхугольник $OAPB$.
Радиус перпендикулярен касательной в точке касания, поэтому два его угла прямые.
$$\angle OAP = \angle OBP = 90^\circ$$
Сумма углов любого четырёхугольника равна $360^\circ$ (диагональ режет его на два треугольника по $180^\circ$).
$$\angle AOB + \angle APB + 90^\circ + 90^\circ = 360^\circ$$
Отсюда два оставшихся угла в сумме дают $180^\circ$, то есть углы при $O$ и при $P$ дополняют друг друга.
$$\angle AOB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$$