Из точки P проведены касательные PA и PB с углом между ними угол APB равно 60 в степени ° . Найдите угол угол AOB между радиусами, проведёнными в точки касания.

Задание ЕГЭ по математике: Из точки P проведены касательные PA и PB с углом между ними угол…

№2. Задание без номера

ID: 00024370

Из точки $P$ проведены касательные $PA$ и $PB$ с углом между ними $\angle APB = 60^\circ$ . Найдите угол $\angle AOB$ между радиусами, проведёнными в точки касания.

Источник: Global_EE

Решение

Соединим центр $O$ с точками касания $A$ и $B$ и с точкой $P$ . Получится четырёхугольник $OAPB$ .

Радиус перпендикулярен касательной в точке касания, поэтому два его угла прямые.

$\angle OAP = \angle OBP = 90^\circ$

Сумма углов любого четырёхугольника равна $360^\circ$ (диагональ режет его на два треугольника по $180^\circ$ ).

$\angle AOB + \angle APB + 90^\circ + 90^\circ = 360^\circ$

Отсюда два оставшихся угла в сумме дают $180^\circ$ , то есть углы при $O$ и при $P$ дополняют друг друга.

$\angle AOB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

Ответ

120