ID: 00024354
Решите уравнение: \sqrt[3]{x^2+x-1}=x-1.
Источник: Global_EE
Корень кубический, степень нечётная — он определён при любых x и принимает любые значения. Поэтому правая часть может быть какой угодно по знаку, и возведение в куб не добавляет посторонних корней.
Возводим обе части в куб. Справа нужен куб разности: (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3, где a=x, b=1.
(x-1)^3=x^3-3x^2+3x-1
Получаем уравнение.
x^2+x-1=x^3-3x^2+3x-1
Переносим всё вправо и приводим подобные: -1 и -1 сокращаются.
0=x^3-3x^2+3x-1-x^2-x+1
0=x^3-4x^2+2x
Во всех слагаемых есть x — выносим его за скобку.
x(x^2-4x+2)=0
Первый корень виден сразу: x=0. Остальные ищем из квадратного уравнения x^2-4x+2=0.
D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot 2=16-8=8
Корень из восьми упрощаем: \sqrt{8}=2\sqrt{2}.
x=\frac{4\pm 2\sqrt{2}}{2}=2\pm\sqrt{2}
Итого три корня: 0, 2+\sqrt{2} и 2-\sqrt{2}. Проверять на посторонние не требуется — у нечётной степени таких ловушек нет.