Рациональные и… — Задание ЕГЭ по математике №00024354

Корень кубический, степень нечётная — он определён при любых $x$ и принимает любые значения. Поэтому правая часть может быть какой угодно по знаку, и возведение в куб не добавляет посторонних корней.

Возводим обе части в куб. Справа нужен куб разности: $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$, где $a=x$, $b=1$.

$$(x-1)^3=x^3-3x^2+3x-1$$

Получаем уравнение.

$$x^2+x-1=x^3-3x^2+3x-1$$

Переносим всё вправо и приводим подобные: $-1$ и $-1$ сокращаются.

$$0=x^3-3x^2+3x-1-x^2-x+1$$

$$0=x^3-4x^2+2x$$

Во всех слагаемых есть $x$ — выносим его за скобку.

$$x(x^2-4x+2)=0$$

Первый корень виден сразу: $x=0$. Остальные ищем из квадратного уравнения $x^2-4x+2=0$.

$$D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot 2=16-8=8$$

Корень из восьми упрощаем: $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$.

$$x=\frac{4\pm 2\sqrt{2}}{2}=2\pm\sqrt{2}$$

Итого три корня: $0$, $2+\sqrt{2}$ и $2-\sqrt{2}$. Проверять на посторонние не требуется — у нечётной степени таких ловушек нет.