ID: 00024354
Решите уравнение: $\sqrt[3]{x^2+x-1}=x-1$.
Ответ дайте выражением. Корень записывайте буквами sqrt, степень — через ^. Например: 3sqrt5, x^2. Если значений несколько, перечислите их через точку с запятой.
Источник: Global_EE
Корень кубический, степень нечётная — он определён при любых $x$ и принимает любые значения. Поэтому правая часть может быть какой угодно по знаку, и возведение в куб не добавляет посторонних корней.
Возводим обе части в куб. Справа нужен куб разности: $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$, где $a=x$, $b=1$.
$$(x-1)^3=x^3-3x^2+3x-1$$
Получаем уравнение.
$$x^2+x-1=x^3-3x^2+3x-1$$
Переносим всё вправо и приводим подобные: $-1$ и $-1$ сокращаются.
$$0=x^3-3x^2+3x-1-x^2-x+1$$
$$0=x^3-4x^2+2x$$
Во всех слагаемых есть $x$ — выносим его за скобку.
$$x(x^2-4x+2)=0$$
Первый корень виден сразу: $x=0$. Остальные ищем из квадратного уравнения $x^2-4x+2=0$.
$$D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot 2=16-8=8$$
Корень из восьми упрощаем: $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$.
$$x=\frac{4\pm 2\sqrt{2}}{2}=2\pm\sqrt{2}$$
Итого три корня: $0$, $2+\sqrt{2}$ и $2-\sqrt{2}$. Проверять на посторонние не требуется — у нечётной степени таких ловушек нет.