Задание ЕГЭ по математике: Решите уравнение: корень 3-й степени из: начало аргумента: 3x…
№2. Задание без номера
ID: 00024353
Решите уравнение: \sqrt[3]{3x+2}=x.
Источник: Global_EE
Решение
Слева кубический корень. Степень нечётная, поэтому он определён при любых x и может принимать любые значения — никаких ограничений на правую часть нет, и посторонние корни не возникнут.
Возводим обе части в куб.
3x+2=x^3
Переносим всё в одну сторону.
x^3-3x-2=0
Кубическое уравнение решаем подбором целого корня среди делителей свободного члена -2: это \pm 1, \pm 2. Пробуем x=2.
2^3-3\cdot 2-2=8-6-2=0
Подошло, значит многочлен делится на (x-2). После деления получаем:
x^3-3x-2=(x-2)(x^2+2x+1)
Вторая скобка — полный квадрат (x+1)^2.
(x-2)(x+1)^2=0
Приравниваем каждый множитель к нулю.
x=2,\qquad x=-1
Проверка: при x=2 имеем \sqrt[3]{8}=2; при x=-1 имеем \sqrt[3]{-1}=-1. Оба верны.