ID: 00024353
Решите уравнение: $\sqrt[3]{3x+2}=x$.
Ответ дайте целым числом. Если значений несколько, перечислите их через точку с запятой.
Источник: Global_EE
Слева кубический корень. Степень нечётная, поэтому он определён при любых $x$ и может принимать любые значения — никаких ограничений на правую часть нет, и посторонние корни не возникнут.
Возводим обе части в куб.
$$3x+2=x^3$$
Переносим всё в одну сторону.
$$x^3-3x-2=0$$
Кубическое уравнение решаем подбором целого корня среди делителей свободного члена $-2$: это $\pm 1$, $\pm 2$. Пробуем $x=2$.
$$2^3-3\cdot 2-2=8-6-2=0$$
Подошло, значит многочлен делится на $(x-2)$. После деления получаем:
$$x^3-3x-2=(x-2)(x^2+2x+1)$$
Вторая скобка — полный квадрат $(x+1)^2$.
$$(x-2)(x+1)^2=0$$
Приравниваем каждый множитель к нулю.
$$x=2,\qquad x=-1$$
Проверка: при $x=2$ имеем $\sqrt[3]{8}=2$; при $x=-1$ имеем $\sqrt[3]{-1}=-1$. Оба верны.