Четырёхугольник… — Задание ЕГЭ по математике №00024284

Сначала доказательство. Обозначим равносторонний треугольник $ABC$ и проведём медиану $AM$ к стороне $BC$ (точка $M$ — середина $BC$).

Сравним треугольники $ABM$ и $ACM$: $AB = AC$ (стороны равностороннего треугольника), $BM = MC$ (медиана делит сторону пополам), $AM$ — общая. Значит треугольники равны по трём сторонам.

Из равенства следует $\angle BAM = \angle CAM$, то есть $AM$ делит угол $A$ пополам — это биссектриса. Также $\angle AMB = \angle AMC$, а вместе они дают развёрнутый угол $180^\circ$, поэтому каждый равен $90^\circ$ — значит $AM$ ещё и высота.

Теперь счёт. Раз медиана совпадает с высотой, работает формула высоты равностороннего треугольника.

$$\frac{a\sqrt{3}}{2} = 15$$

Умножаем обе части на $2$.

$$a\sqrt{3} = 30$$

Делим на $\sqrt{3}$ и избавляемся от корня в знаменателе.

$$a = \frac{30}{\sqrt{3}} = \frac{30\sqrt{3}}{3} = 10\sqrt{3}$$