ID: 00024284
Медиана правильного треугольника равна $15$. Найдите сторону и докажите, что она же является и биссектрисой, и высотой.
Ответ дайте выражением. Корень записывайте буквами sqrt, степень — через ^. Например: 3sqrt5, x^2.
Источник: Global_EE
Сначала доказательство. Обозначим равносторонний треугольник $ABC$ и проведём медиану $AM$ к стороне $BC$ (точка $M$ — середина $BC$).
Сравним треугольники $ABM$ и $ACM$: $AB = AC$ (стороны равностороннего треугольника), $BM = MC$ (медиана делит сторону пополам), $AM$ — общая. Значит треугольники равны по трём сторонам.
Из равенства следует $\angle BAM = \angle CAM$, то есть $AM$ делит угол $A$ пополам — это биссектриса. Также $\angle AMB = \angle AMC$, а вместе они дают развёрнутый угол $180^\circ$, поэтому каждый равен $90^\circ$ — значит $AM$ ещё и высота.
Теперь счёт. Раз медиана совпадает с высотой, работает формула высоты равностороннего треугольника.
$$\frac{a\sqrt{3}}{2} = 15$$
Умножаем обе части на $2$.
$$a\sqrt{3} = 30$$
Делим на $\sqrt{3}$ и избавляемся от корня в знаменателе.
$$a = \frac{30}{\sqrt{3}} = \frac{30\sqrt{3}}{3} = 10\sqrt{3}$$