Задание ЕГЭ по математике: Медиана правильного треугольника равна 15 . Найдите сторону и…
№2. Задание без номера
ID: 00024284
Медиана правильного треугольника равна 15. Найдите сторону и докажите, что она же является и биссектрисой, и высотой.
Источник: Global_EE
Решение
Сначала доказательство. Обозначим равносторонний треугольник ABC и проведём медиану AM к стороне BC (точка M — середина BC).
Сравним треугольники ABM и ACM: AB = AC (стороны равностороннего треугольника), BM = MC (медиана делит сторону пополам), AM — общая. Значит треугольники равны по трём сторонам.
Из равенства следует \angle BAM = \angle CAM, то есть AM делит угол A пополам — это биссектриса. Также \angle AMB = \angle AMC, а вместе они дают развёрнутый угол 180^\circ, поэтому каждый равен 90^\circ — значит AM ещё и высота.
Теперь счёт. Раз медиана совпадает с высотой, работает формула высоты равностороннего треугольника.
\frac{a\sqrt{3}}{2} = 15
Умножаем обе части на 2.
a\sqrt{3} = 30
Делим на \sqrt{3} и избавляемся от корня в знаменателе.
a = \frac{30}{\sqrt{3}} = \frac{30\sqrt{3}}{3} = 10\sqrt{3}