ID: 00024270
В параллелограмме $ABCD$ диагонали равны: $AC = BD = 20$, сторона $AB = 12$. Докажите, что $ABCD$ — прямоугольник, и найдите сторону $BC$.
Ответ дайте целым числом.
Источник: Global_EE
Начнём с доказательства. Есть признак: если у параллелограмма диагонали равны, то это прямоугольник. По условию $AC = BD$, значит $ABCD$ — прямоугольник.
Почему так: треугольники $ABC$ и $BAD$ имеют общую сторону $AB$, равные стороны $BC = AD$ (противоположные стороны параллелограмма) и равные диагонали $AC = BD$. Значит они равны, и углы $\angle ABC = \angle BAD$. Но эти углы прилежат к одной стороне, поэтому их сумма $180^\circ$, и каждый равен $90^\circ$.
Теперь счёт. В прямоугольнике диагональ — гипотенуза прямоугольного треугольника со сторонами-катетами.
$$BC^2 = AC^2 - AB^2 = 20^2 - 12^2 = 400 - 144 = 256$$
Извлекаем корень.
$$BC = 16$$