Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются под углом 90 в степени ° . Докажите, что ABCD — ромб, и, если сторона AB равно 15 , а одна диагональ равна 18 , найдите вторую диагональ.

ABCD — ромб, вторая диагональ 24

Задание ЕГЭ по математике: Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются под углом 90 в…

№2. Задание без номера

ID: 00024267

Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются под углом $90^\circ$ . Докажите, что $ABCD$ — ромб, и, если сторона $AB = 15$ , а одна диагональ равна $18$ , найдите вторую диагональ.

Источник: Global_EE

Решение

Сначала доказательство. У параллелограмма диагонали и так делятся точкой пересечения $O$ пополам. Добавилось, что они ещё и перпендикулярны.

Возьмём треугольники $AOB$ и $COB$ : у них общий катет $OB$ , катеты $AO$ и $OC$ равны (диагональ делится пополам), а углы при $O$ прямые. Значит треугольники равны, и $AB = BC$ .

Так же получаем равенство и остальных сторон: все четыре стороны равны, а параллелограмм с равными сторонами — это ромб.

Теперь счёт. Половина известной диагонали:

$\frac{18}{2} = 9$

Сторона $AB = 15$ — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами-полудиагоналями. По теореме Пифагора вторая половинка равна:

$x^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144$

$x = 12$

Это половина второй диагонали, значит вся диагональ вдвое больше.

$2 \cdot 12 = 24$

Ответ

24 / ромб; 24 / вторая диагональ 24