ID: 00024267
Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются под углом $90^\circ$. Докажите, что $ABCD$ — ромб, и, если сторона $AB = 15$, а одна диагональ равна $18$, найдите вторую диагональ.
Ответ дайте целым числом.
Источник: Global_EE
Сначала доказательство. У параллелограмма диагонали и так делятся точкой пересечения $O$ пополам. Добавилось, что они ещё и перпендикулярны.
Возьмём треугольники $AOB$ и $COB$: у них общий катет $OB$, катеты $AO$ и $OC$ равны (диагональ делится пополам), а углы при $O$ прямые. Значит треугольники равны, и $AB = BC$.
Так же получаем равенство и остальных сторон: все четыре стороны равны, а параллелограмм с равными сторонами — это ромб.
Теперь счёт. Половина известной диагонали:
$$\frac{18}{2} = 9$$
Сторона $AB = 15$ — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами-полудиагоналями. По теореме Пифагора вторая половинка равна:
$$x^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144$$
$$x = 12$$
Это половина второй диагонали, значит вся диагональ вдвое больше.
$$2 \cdot 12 = 24$$