Четырёхугольник… — Задание ЕГЭ по математике №00024267

Сначала доказательство. У параллелограмма диагонали и так делятся точкой пересечения $O$ пополам. Добавилось, что они ещё и перпендикулярны.

Возьмём треугольники $AOB$ и $COB$: у них общий катет $OB$, катеты $AO$ и $OC$ равны (диагональ делится пополам), а углы при $O$ прямые. Значит треугольники равны, и $AB = BC$.

Так же получаем равенство и остальных сторон: все четыре стороны равны, а параллелограмм с равными сторонами — это ромб.

Теперь счёт. Половина известной диагонали:

$$\frac{18}{2} = 9$$

Сторона $AB = 15$ — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами-полудиагоналями. По теореме Пифагора вторая половинка равна:

$$x^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144$$

$$x = 12$$

Это половина второй диагонали, значит вся диагональ вдвое больше.

$$2 \cdot 12 = 24$$