Четырёхугольник… — Задание ЕГЭ по математике №00024263

Задание №23. Азы Математики

Четырёхугольники

№2. Задание без номера

ID: 00024263

Диагонали четырёхугольника $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$ , причём $$AO = OC = 7$$ , $$BO = OD = 5$$ . Докажите, что $$ABCD$$ — параллелограмм, и найдите длины диагоналей.

Ответ дайте целым числом. Если значений несколько, перечислите их через точку с запятой.

Источник: Global_EE

Решение

Из условия видно главное: точка $$O$$ делит каждую диагональ ровно пополам ( $$AO = OC$$ и $$BO = OD$$ ).

А это в точности признак параллелограмма: если диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, то это параллелограмм. Значит $$ABCD$$ — параллелограмм.

Почему признак работает: треугольники $$AOB$$ и $$COD$$ равны по двум сторонам и углу между ними (вертикальные углы при $$O$$ равны), поэтому $$AB = CD$$ и накрест лежащие углы равны, откуда $AB \parallel CD$ . Четырёхугольник, у которого две стороны равны и параллельны, — параллелограмм.

Теперь длины. Диагональ $$AC$$ состоит из двух кусочков $$AO$$ и $$OC$$ .

$$$AC = AO + OC = 7 + 7 = 14$$$

Так же складываем куски второй диагонали.

$$$BD = BO + OD = 5 + 5 = 10$$$

Ответ

14; 10 / ABCD - параллелограмм, AC=14, BD=10 / AC=14, BD=10 / 14 и 10 / параллелограмм; 14; 10 / 10; 14

Другие задания по теме «Четырёхугольники» (8)