Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O , причём AO равно OC равно 7 , BO равно OD равно 5 . Докажите, что ABCD — параллелограмм, и найдите длины диагоналей.

ABCD — параллелограмм, AC=14, BD=10

Задание ЕГЭ по математике: Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O , причём…

№2. Задание без номера

ID: 00024263

Диагонали четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$ , причём $AO = OC = 7$ , $BO = OD = 5$ . Докажите, что $ABCD$ — параллелограмм, и найдите длины диагоналей.

Источник: Global_EE

Решение

Из условия видно главное: точка $O$ делит каждую диагональ ровно пополам ( $AO = OC$ и $BO = OD$ ).

А это в точности признак параллелограмма: если диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, то это параллелограмм. Значит $ABCD$ — параллелограмм.

Почему признак работает: треугольники $AOB$ и $COD$ равны по двум сторонам и углу между ними (вертикальные углы при $O$ равны), поэтому $AB = CD$ и накрест лежащие углы равны, откуда $AB \parallel CD$ . Четырёхугольник, у которого две стороны равны и параллельны, — параллелограмм.

Теперь длины. Диагональ $AC$ состоит из двух кусочков $AO$ и $OC$ .

$AC = AO + OC = 7 + 7 = 14$

Так же складываем куски второй диагонали.

$BD = BO + OD = 5 + 5 = 10$

Ответ

AC=14, BD=10 / 14; 10 / 14 и 10 / параллелограмм; 14; 10