ID: 00024263
Диагонали четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, причём $AO = OC = 7$, $BO = OD = 5$. Докажите, что $ABCD$ — параллелограмм, и найдите длины диагоналей.
Ответ дайте целым числом. Если значений несколько, перечислите их через точку с запятой.
Источник: Global_EE
Из условия видно главное: точка $O$ делит каждую диагональ ровно пополам ($AO = OC$ и $BO = OD$).
А это в точности признак параллелограмма: если диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, то это параллелограмм. Значит $ABCD$ — параллелограмм.
Почему признак работает: треугольники $AOB$ и $COD$ равны по двум сторонам и углу между ними (вертикальные углы при $O$ равны), поэтому $AB = CD$ и накрест лежащие углы равны, откуда $AB \parallel CD$. Четырёхугольник, у которого две стороны равны и параллельны, — параллелограмм.
Теперь длины. Диагональ $AC$ состоит из двух кусочков $AO$ и $OC$.
$$AC = AO + OC = 7 + 7 = 14$$
Так же складываем куски второй диагонали.
$$BD = BO + OD = 5 + 5 = 10$$