В прямоугольном треугольнике высота к гипотенузе CH равно 12 , отрезок гипотенузы AH равно 9 . Найдите отрезок гипотенузы BH , саму гипотенузу AB и катеты.

Задание ЕГЭ по математике: В прямоугольном треугольнике высота к гипотенузе CH равно 12 ,…

№2. Задание без номера

ID: 00024185

В прямоугольном треугольнике высота к гипотенузе $CH=12$ , отрезок гипотенузы $AH=9$ . Найдите отрезок гипотенузы $BH$ , саму гипотенузу $AB$ и катеты.

Источник: Global_EE

Решение

Высота из вершины прямого угла делит гипотенузу на два отрезка $AH$ и $BH$ и связывает все стороны тремя правилами (все они следуют из подобия трёх получившихся треугольников).

Первое правило: квадрат высоты равен произведению отрезков гипотенузы.

$CH^2=AH\cdot BH$

Подставляем известное:

$12^2=9\cdot BH$

$144=9\cdot BH$

Делим на 9:

$BH=16$

Гипотенуза — это два отрезка вместе:

$AB=AH+BH=9+16=25$

Второе правило: квадрат катета равен произведению всей гипотенузы на прилежащий к этому катету отрезок. Катет $AC$ опирается на отрезок $AH$ :

$AC^2=AB\cdot AH=25\cdot 9=225$

$AC=15$

Катет $BC$ опирается на отрезок $BH$ :

$BC^2=AB\cdot BH=25\cdot 16=400$

$BC=20$

Проверка теоремой Пифагора: $15^2+20^2=225+400=625=25^2$ — всё сходится.

Ответ

16, 25, 15, 20 / 16; 25; 15; 20 / BH=16; AB=25; AC=15; BC=20