Треугольники — Задание ЕГЭ по математике №00024185

Высота из вершины прямого угла делит гипотенузу на два отрезка $AH$ и $BH$ и связывает все стороны тремя правилами (все они следуют из подобия трёх получившихся треугольников).

Первое правило: квадрат высоты равен произведению отрезков гипотенузы.

$$CH^2=AH\cdot BH$$

Подставляем известное:

$$12^2=9\cdot BH$$

$$144=9\cdot BH$$

Делим на 9:

$$BH=16$$

Гипотенуза — это два отрезка вместе:

$$AB=AH+BH=9+16=25$$

Второе правило: квадрат катета равен произведению всей гипотенузы на прилежащий к этому катету отрезок. Катет $AC$ опирается на отрезок $AH$:

$$AC^2=AB\cdot AH=25\cdot 9=225$$

$$AC=15$$

Катет $BC$ опирается на отрезок $BH$:

$$BC^2=AB\cdot BH=25\cdot 16=400$$

$$BC=20$$

Проверка теоремой Пифагора: $15^2+20^2=225+400=625=25^2$ — всё сходится.