ID: 00024185
В прямоугольном треугольнике высота к гипотенузе $CH=12$, отрезок гипотенузы $AH=9$. Найдите отрезок гипотенузы $BH$, саму гипотенузу $AB$ и катеты.
Ответ дайте целым числом. Если значений несколько, перечислите их через точку с запятой.
Источник: Global_EE
Высота из вершины прямого угла делит гипотенузу на два отрезка $AH$ и $BH$ и связывает все стороны тремя правилами (все они следуют из подобия трёх получившихся треугольников).
Первое правило: квадрат высоты равен произведению отрезков гипотенузы.
$$CH^2=AH\cdot BH$$
Подставляем известное:
$$12^2=9\cdot BH$$
$$144=9\cdot BH$$
Делим на 9:
$$BH=16$$
Гипотенуза — это два отрезка вместе:
$$AB=AH+BH=9+16=25$$
Второе правило: квадрат катета равен произведению всей гипотенузы на прилежащий к этому катету отрезок. Катет $AC$ опирается на отрезок $AH$:
$$AC^2=AB\cdot AH=25\cdot 9=225$$
$$AC=15$$
Катет $BC$ опирается на отрезок $BH$:
$$BC^2=AB\cdot BH=25\cdot 16=400$$
$$BC=20$$
Проверка теоремой Пифагора: $15^2+20^2=225+400=625=25^2$ — всё сходится.