Треугольники — Задание ЕГЭ по математике №00024182

Известен катет, который прилежит к углу $30^\circ$ (то есть образует этот угол вместе с гипотенузой). Связь прилежащего катета с гипотенузой даёт косинус.

$$\cos A=\frac{b}{c}$$

Отсюда гипотенуза:

$$c=\frac{b}{\cos A}=\frac{9}{\cos 30^\circ}$$

Подставляем табличное значение $\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Деление на дробь — это умножение на перевёрнутую:

$$c=9\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{18}{\sqrt{3}}$$

Избавляемся от корня в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$$c=\frac{18\sqrt{3}}{3}=6\sqrt{3}$$

Теперь второй катет — тот, что лежит напротив угла $30^\circ$. Его удобно найти через тангенс:

$$a=b\cdot\operatorname{tg}30^\circ=9\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{9}{\sqrt{3}}=\frac{9\sqrt{3}}{3}=3\sqrt{3}$$

Проверка: катет против угла $30^\circ$ должен быть половиной гипотенузы, и правда $3\sqrt{3}$ — это половина от $6\sqrt{3}$.