ID: 00024182
В прямоугольном треугольнике угол $A=30^\circ$, катет, прилежащий к нему, $b=9$. Найдите гипотенузу и второй катет.
Ответ дайте выражением. Корень записывайте буквами sqrt, степень — через ^. Например: 3sqrt5, x^2. Если значений несколько, перечислите их через точку с запятой.
Источник: Global_EE
Известен катет, который прилежит к углу $30^\circ$ (то есть образует этот угол вместе с гипотенузой). Связь прилежащего катета с гипотенузой даёт косинус.
$$\cos A=\frac{b}{c}$$
Отсюда гипотенуза:
$$c=\frac{b}{\cos A}=\frac{9}{\cos 30^\circ}$$
Подставляем табличное значение $\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Деление на дробь — это умножение на перевёрнутую:
$$c=9\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{18}{\sqrt{3}}$$
Избавляемся от корня в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$$c=\frac{18\sqrt{3}}{3}=6\sqrt{3}$$
Теперь второй катет — тот, что лежит напротив угла $30^\circ$. Его удобно найти через тангенс:
$$a=b\cdot\operatorname{tg}30^\circ=9\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{9}{\sqrt{3}}=\frac{9\sqrt{3}}{3}=3\sqrt{3}$$
Проверка: катет против угла $30^\circ$ должен быть половиной гипотенузы, и правда $3\sqrt{3}$ — это половина от $6\sqrt{3}$.