Задание ЕГЭ по математике: В прямоугольном треугольнике угол A равно 30 в степени ° ,…
№2. Задание без номера
ID: 00024182
В прямоугольном треугольнике угол A=30^\circ, катет, прилежащий к нему, b=9. Найдите гипотенузу и второй катет.
Источник: Global_EE
Решение
Известен катет, который прилежит к углу 30^\circ (то есть образует этот угол вместе с гипотенузой). Связь прилежащего катета с гипотенузой даёт косинус.
\cos A=\frac{b}{c}
Отсюда гипотенуза:
c=\frac{b}{\cos A}=\frac{9}{\cos 30^\circ}
Подставляем табличное значение \cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}. Деление на дробь — это умножение на перевёрнутую:
c=9\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{18}{\sqrt{3}}
Избавляемся от корня в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на \sqrt{3}:
c=\frac{18\sqrt{3}}{3}=6\sqrt{3}
Теперь второй катет — тот, что лежит напротив угла 30^\circ. Его удобно найти через тангенс:
a=b\cdot\operatorname{tg}30^\circ=9\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{9}{\sqrt{3}}=\frac{9\sqrt{3}}{3}=3\sqrt{3}
Проверка: катет против угла 30^\circ должен быть половиной гипотенузы, и правда 3\sqrt{3} — это половина от 6\sqrt{3}.