ID: 00024161
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BB_1$. Известно, что $AB=6$, $BC=9$, $B_1C=6$. Найдите $AB_1$.
Ответ дайте целым числом.
Источник: Global_EE
Биссектриса, выходящая из вершины $B$, попадает в сторону $AC$ и делит её на два отрезка: $AB_1$ и $B_1C$. Главное свойство: эти отрезки относятся так же, как прилежащие к ним стороны треугольника.
Отрезок $AB_1$ «прижат» к стороне $AB$, а отрезок $B_1C$ — к стороне $BC$. Поэтому:
$$\frac{AB_1}{B_1C}=\frac{AB}{BC}$$
Подставляем известные числа:
$$\frac{AB_1}{6}=\frac{6}{9}$$
Дробь справа сокращается на 3:
$$\frac{AB_1}{6}=\frac{2}{3}$$
Отсюда умножением на 6:
$$AB_1=6\cdot\frac{2}{3}=4$$
Проверка: $4:6=2:3$ и $6:9=2:3$ — отношения совпали.