Треугольники — Задание ЕГЭ по математике №00024161

Биссектриса, выходящая из вершины $B$, попадает в сторону $AC$ и делит её на два отрезка: $AB_1$ и $B_1C$. Главное свойство: эти отрезки относятся так же, как прилежащие к ним стороны треугольника.

Отрезок $AB_1$ «прижат» к стороне $AB$, а отрезок $B_1C$ — к стороне $BC$. Поэтому:

$$\frac{AB_1}{B_1C}=\frac{AB}{BC}$$

Подставляем известные числа:

$$\frac{AB_1}{6}=\frac{6}{9}$$

Дробь справа сокращается на 3:

$$\frac{AB_1}{6}=\frac{2}{3}$$

Отсюда умножением на 6:

$$AB_1=6\cdot\frac{2}{3}=4$$

Проверка: $4:6=2:3$ и $6:9=2:3$ — отношения совпали.