Задание ЕГЭ по математике: Разложите на множители: 27x в степени 6 минус 1 .

Разложить на множители — значит превратить сумму или разность в произведение скобок. Здесь два слагаемых и между ними минус, а числа 27 и 1 — это кубы. Значит, работает формула разности кубов.

m^3 - n^3 = (m-n)(m^2+mn+n^2)

Сначала увидим кубы. 27 = 3^3, а x^6 = (x^2)^3, потому что при возведении степени в степень показатели перемножаются: 2\cdot 3 = 6. Вместе получается 27x^6 = (3x^2)^3, то есть m = 3x^2.

Единица — тоже куб: 1 = 1^3, значит n = 1.

Подставляем в формулу. Первая скобка — просто разность.

m - n = 3x^2 - 1

Вторая скобка — «неполный квадрат суммы»: квадрат первого, плюс произведение первого на второе (без удвоения!), плюс квадрат второго.

m^2 = (3x^2)^2 = 9x^4,\qquad mn = 3x^2\cdot 1 = 3x^2,\qquad n^2 = 1

Собираем всё вместе.

27x^6 - 1 = (3x^2-1)(9x^4+3x^2+1)