Задание ЕГЭ по математике №00024144

Разложить на множители — значит превратить сумму или разность в произведение скобок. Здесь два слагаемых и между ними минус, а числа $27$ и $1$ — это кубы. Значит, работает формула разности кубов.

$$m^3 - n^3 = (m-n)(m^2+mn+n^2)$$

Сначала увидим кубы. $27 = 3^3$, а $x^6 = (x^2)^3$, потому что при возведении степени в степень показатели перемножаются: $2\cdot 3 = 6$. Вместе получается $27x^6 = (3x^2)^3$, то есть $m = 3x^2$.

Единица — тоже куб: $1 = 1^3$, значит $n = 1$.

Подставляем в формулу. Первая скобка — просто разность.

$$m - n = 3x^2 - 1$$

Вторая скобка — «неполный квадрат суммы»: квадрат первого, плюс произведение первого на второе (без удвоения!), плюс квадрат второго.

$$m^2 = (3x^2)^2 = 9x^4,\qquad mn = 3x^2\cdot 1 = 3x^2,\qquad n^2 = 1$$

Собираем всё вместе.

$$27x^6 - 1 = (3x^2-1)(9x^4+3x^2+1)$$