Алгебраические… — Задание ЕГЭ по математике №00024128

Запись $0{,}(7)$ означает, что семёрка повторяется бесконечно: $0{,}7777\ldots$

Приём такой: обозначим это число буквой и подберём умножение, после которого «хвосты» станут одинаковыми и уничтожатся при вычитании.

Пусть $x=0{,}7777\ldots$ Период состоит из одной цифры, поэтому умножаем на 10:

$$10x=7{,}7777\ldots$$

Вычитаем из второго равенства первое — бесконечные хвосты после запятой одинаковые и полностью сокращаются:

$$10x-x=7{,}7777\ldots-0{,}7777\ldots=7$$

Слева получаем $9x$:

$$9x=7$$

Отсюда

$$x=\frac{7}{9}$$