Алгебраические… — Задание ЕГЭ по математике №00024123

Оговорка: сокращать будем на скобку, которая обнуляется при $x = 2$, поэтому считаем $x \ne 2$.

Сначала проверим, разделится ли нацело. Подставим $x=2$ в делимое:

$$2^3-2^2+2\cdot 2-8=8-4+4-8=0$$

Получился ноль, значит $x=2$ — корень, и многочлен делится на $(x-2)$ без остатка.

Делим уголком. Старшие члены: $x^3:x=x^2$. Умножаем: $x^2(x-2)=x^3-2x^2$, вычитаем:

$$(x^3-x^2+2x-8)-(x^3-2x^2)=x^2+2x-8$$

Следующий шаг: $x^2:x=x$. Умножаем: $x(x-2)=x^2-2x$, вычитаем:

$$(x^2+2x-8)-(x^2-2x)=4x-8$$

Последний шаг: $4x:x=4$. Умножаем: $4(x-2)=4x-8$, вычитаем — остаётся ноль.

Собираем частное из полученных кусочков:

$$x^2+x+4$$

Проверка обратным умножением: $(x-2)(x^2+x+4)=x^3+x^2+4x-2x^2-2x-8=x^3-x^2+2x-8$ — совпало.