Алгебраические… — Задание ЕГЭ по математике №00024122

Здесь деление нацело не получится, поэтому результат будет в виде «целая часть плюс дробный остаток».

Делим уголком. Смотрим на старшие члены: $x^2$ делим на $x$, получаем $x$. Умножаем $x$ на весь делитель: $x(x+1)=x^2+x$, и вычитаем:

$$(x^2+3x-2)-(x^2+x)=2x-2$$

Повторяем шаг: $2x$ делим на $x$, получаем $2$. Умножаем: $2(x+1)=2x+2$, вычитаем:

$$(2x-2)-(2x+2)=-4$$

Дальше делить нельзя: остаток — число $-4$ без $x$, его степень равна нулю и меньше степени делителя. Значит частное $x+2$, остаток $-4$.

Записываем результат в виде «частное плюс остаток, делённый на делитель» (при $x\neq -1$):

$$\frac{x^2+3x-2}{x+1}=x+2-\frac{4}{x+1}$$

Проверка: $(x+1)(x+2)-4=x^2+3x+2-4=x^2+3x-2$ — сходится.