Алгебраические… — Задание ЕГЭ по математике №00024121

Самый быстрый путь — разложить числитель на множители и посмотреть, не найдётся ли там скобка $(x-5)$.

Квадратный трёхчлен $x^2-4x-5$ раскладывается по теореме Виета: ищем два числа, сумма которых равна $4$, а произведение равно $-5$. Это $5$ и $-1$, значит корни трёхчлена $x_1=5$ и $x_2=-1$.

$$x^2-4x-5=(x-5)(x+1)$$

Проверим раскрытием скобок: $(x-5)(x+1)=x^2+x-5x-5=x^2-4x-5$ — совпало.

Теперь делим (при $x\neq 5$ скобка сокращается):

$$\frac{x^2-4x-5}{x-5}=\frac{(x-5)(x+1)}{x-5}=x+1$$

Деление получилось без остатка.