Алгебраические… — Задание ЕГЭ по математике №00024112

Правило то же, что и для обычных дробей: чтобы сложить, нужен общий знаменатель. Только теперь в знаменателях стоят скобки.

Знаменатели $x-1$ и $x+1$ не имеют общих множителей, поэтому общий знаменатель — их произведение:

$$(x-1)(x+1)=x^2-1$$

Знаменатели не должны обращаться в ноль, значит $x\neq 1$ и $x\neq -1$.

Домножаем первую дробь на $(x+1)$, вторую — на $(x-1)$:

$$\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}+\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}$$

Складываем числители и приводим подобные:

$$\frac{(x+1)+(x-1)}{x^2-1}=\frac{x+1+x-1}{x^2-1}=\frac{2x}{x^2-1}$$