Алгебраические… — Задание ЕГЭ по математике №00024106

Запись $1{,}4(18)$ означает $1{,}4181818\ldots$: цифра 4 стоит один раз, а дальше бесконечно повторяется пара цифр 18.

Обозначим число буквой:

$$x=1{,}4181818\ldots$$

Сначала сдвигаем запятую за непериодическую цифру 4 — умножаем на 10:

$$10x=14{,}181818\ldots$$

Период состоит из двух цифр, поэтому следующий сдвиг делаем ещё на два знака — умножаем на 1000:

$$1000x=1418{,}181818\ldots$$

Хвосты у $1000x$ и $10x$ одинаковые, вычитаем:

$$1000x-10x=1418{,}1818\ldots-14{,}1818\ldots$$

$$990x=1404$$

Значит:

$$x=\frac{1404}{990}$$

Сокращаем. Оба числа делятся на 2: $\frac{702}{495}$. Оба делятся на 9 (сумма цифр 702 равна 9, сумма цифр 495 равна 18):

$$\frac{702:9}{495:9}=\frac{78}{55}$$

У 78 и 55 общих делителей больше нет. При желании дробь записывают смешанным числом: $78:55$ даёт 1 и остаток 23, то есть $1\frac{23}{55}$.