Алгебраические… — Задание ЕГЭ по математике №00024105

Запись $0{,}2(7)$ означает $0{,}27777\ldots$: двойка стоит один раз, а семёрка повторяется бесконечно.

Приём тот же, что и всегда: подобрать два умножения так, чтобы бесконечные хвосты стали одинаковыми, и вычесть.

Обозначим:

$$x=0{,}27777\ldots$$

Сначала сдвинем запятую за непериодическую цифру 2 — умножаем на 10:

$$10x=2{,}7777\ldots$$

Теперь сдвинем ещё на один знак (период из одной цифры) — умножаем на 100:

$$100x=27{,}7777\ldots$$

У чисел $100x$ и $10x$ после запятой одинаковый хвост $7777\ldots$, поэтому при вычитании он исчезает:

$$100x-10x=27{,}7777\ldots-2{,}7777\ldots$$

$$90x=25$$

Делим и сокращаем дробь на 5:

$$x=\frac{25}{90}=\frac{5}{18}$$