Алгебраические… — Задание ЕГЭ по математике №00024104

Запись $0{,}(4)$ означает, что четвёрка повторяется бесконечно: $0{,}4444\ldots$ Хитрость перевода в том, чтобы умножением на 10 «сдвинуть» дробь и вычитанием убрать бесконечный хвост.

Обозначим искомое число буквой:

$$x=0{,}4444\ldots$$

Период состоит из одной цифры, поэтому умножаем на 10 — запятая сдвигается ровно на один знак:

$$10x=4{,}4444\ldots$$

Теперь у обоих чисел после запятой стоит один и тот же бесконечный хвост. Вычитаем — хвосты уничтожают друг друга:

$$10x-x=4{,}4444\ldots-0{,}4444\ldots$$

$$9x=4$$

Отсюда:

$$x=\frac{4}{9}$$