Алгебраические… — Задание ЕГЭ по математике №00024100

Здесь делим многочлен на многочлен — работаем «уголком», как с числами в столбик: на каждом шаге смотрим только на старшие слагаемые.

Шаг 1. Старшее слагаемое делимого $x^3$, старшее слагаемое делителя $x^2$. Делим: $x^3:x^2=x$. Это первая часть частного.

Умножаем делитель на $x$ и вычитаем из делимого:

$$x\cdot(x^2-1)=x^3-x$$

$$(x^3+2x^2-x+5)-(x^3-x)=2x^2+5$$

Шаг 2. Теперь делим то, что осталось. Старшие слагаемые: $2x^2:x^2=2$. Это вторая часть частного.

$$2\cdot(x^2-1)=2x^2-2$$

$$(2x^2+5)-(2x^2-2)=7$$

Остановка: остаток равен $7$ — это просто число без $x$, его степень равна нулю меньше степени делителя $x^2-1$ (степень 2), делить дальше нельзя.

Итог: частное $x+2$, остаток 7. Записываем результат в виде «целая часть плюс остаток на делитель»:

$$\frac{x^3+2x^2-x+5}{x^2-1}=x+2+\frac{7}{x^2-1}$$

Знаменатель не должен обращаться в ноль: $x^2-1=0$ при $x=1$ и $x=-1$, поэтому $x\ne\pm 1$.