Выполните деление многочленов с остатком: левая круглая скобка x в кубе плюс 2x в квадрате минус x плюс 5 правая круглая скобка : левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка .

Задание ЕГЭ по математике: Выполните деление многочленов с остатком: левая круглая скобка x…

ID: 00024100

Выполните деление многочленов с остатком: $(x^3+2x^2-x+5):(x^2-1)$ .

Источник: Global_EE

Здесь делим многочлен на многочлен — работаем «уголком», как с числами в столбик: на каждом шаге смотрим только на старшие слагаемые.

Шаг 1. Старшее слагаемое делимого $x^3$ , старшее слагаемое делителя $x^2$ . Делим: $x^3:x^2=x$ . Это первая часть частного.

Умножаем делитель на $x$ и вычитаем из делимого:

$x\cdot(x^2-1)=x^3-x$

$(x^3+2x^2-x+5)-(x^3-x)=2x^2+5$

Шаг 2. Теперь делим то, что осталось. Старшие слагаемые: $2x^2:x^2=2$ . Это вторая часть частного.

$2\cdot(x^2-1)=2x^2-2$

$(2x^2+5)-(2x^2-2)=7$

Остановка: остаток равен $7$ — это просто число без $x$ , его степень равна нулю меньше степени делителя $x^2-1$ (степень 2), делить дальше нельзя.

Итог: частное $x+2$ , остаток 7. Записываем результат в виде «целая часть плюс остаток на делитель»:

$\frac{x^3+2x^2-x+5}{x^2-1}=x+2+\frac{7}{x^2-1}$

Знаменатель не должен обращаться в ноль: $x^2-1=0$ при $x=1$ и $x=-1$ , поэтому $x\ne\pm 1$ .

x+2+7/(x^2-1) / x+2+7/(x²-1) / x + 2 + 7/(x^2 - 1) / x+2 + 7/(x²−1) (при x ≠ ±1)