Алгебраические… — Задание ЕГЭ по математике №00024094

Это «многоэтажная» дробь: и наверху, и внизу сидят свои маленькие дроби. Порядок действий такой — сначала превращаем верх в одну дробь, потом низ в одну дробь, а затем делим одну на другую.

Верх: приводим к общему знаменателю $x$.

$$1+\frac{1}{x}=\frac{x}{x}+\frac{1}{x}=\frac{x+1}{x}$$

Низ: точно так же.

$$1-\frac{1}{x}=\frac{x}{x}-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$$

Деление на дробь — это умножение на перевёрнутую дробь:

$$\frac{x+1}{x}:\frac{x-1}{x}=\frac{x+1}{x}\cdot\frac{x}{x-1}=\frac{x+1}{x-1}$$

Буква $x$ сверху и снизу сократилась.

Ограничения: в исходном выражении есть $\frac{1}{x}$, поэтому $x\ne 0$; кроме того, нижняя часть не должна равняться нулю, а $1-\frac{1}{x}=0$ как раз при $x=1$, значит $x\ne 1$.