ID: 00024094
Упростите выражение: $\dfrac{1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}$.
Ответ дайте выражением. Корень записывайте буквами sqrt, степень — через ^. Например: 3sqrt5, x^2.
Источник: Global_EE
Это «многоэтажная» дробь: и наверху, и внизу сидят свои маленькие дроби. Порядок действий такой — сначала превращаем верх в одну дробь, потом низ в одну дробь, а затем делим одну на другую.
Верх: приводим к общему знаменателю $x$.
$$1+\frac{1}{x}=\frac{x}{x}+\frac{1}{x}=\frac{x+1}{x}$$
Низ: точно так же.
$$1-\frac{1}{x}=\frac{x}{x}-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$$
Деление на дробь — это умножение на перевёрнутую дробь:
$$\frac{x+1}{x}:\frac{x-1}{x}=\frac{x+1}{x}\cdot\frac{x}{x-1}=\frac{x+1}{x-1}$$
Буква $x$ сверху и снизу сократилась.
Ограничения: в исходном выражении есть $\frac{1}{x}$, поэтому $x\ne 0$; кроме того, нижняя часть не должна равняться нулю, а $1-\frac{1}{x}=0$ как раз при $x=1$, значит $x\ne 1$.