Числа и их… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00022429

Расставим все десять чисел по возрастанию: $a_1</p><p><b>а)</b> Пусть наибольшее число$a_{10}=18$. Тогда пять чисел$a_5,a_6,a_7,a_8,a_9$меньше 18, различны, а вместе с$a_{10}$дают в сумме 96, то есть их сумма равна$96-18=78$. Но пять различных натуральных чисел, каждое меньше 18, — это самое большее$17+16+15+14+13=75$. А нам нужно 78. Не хватает! Значит,$a_{10}=18$невозможно. Ответ: <b>нет</b>.</p><p><b>б)</b> Сложим сумму шести наименьших и сумму шести наибольших:$48+96=144$. При этом мы дважды посчитали общие числа$a_5$и$a_6$. Значит, если$S$— сумма всех десяти чисел, то$S+(a_5+a_6)=144$. Если среднее всех десяти равно$11{,}2$, то$S=112$, и тогда$a_5+a_6=144-112=32$. Но раз$a_5нет.

в) Мы уже знаем $S=144-(a_5+a_6)$. Чтобы среднее $S/10$ было наименьшим, надо сделать $a_5+a_6$ как можно больше. Оценим сверху. Четыре числа $a_7,a_8,a_9,a_{10}$ больше $a_6$, значит их сумма не меньше $4a_6+10$. Из суммы шести наибольших: $96=a_5+a_6+(a_7+a_8+a_9+a_{10})\ge a_5+a_6+4a_6+10$, откуда $a_5+5a_6\le 86$. Если $a_5+a_6$ хочет быть большим, а $a_5$11{,}7$.