Числа и их… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00022413

Числа разбили на три непустые группы. К первой приписали справа цифру 3 ($n\to 10n+3$), ко второй — цифру 7 ($n\to 10n+7$), третью не трогали. Пусть $S_1,S_2,S_3$ — суммы групп, $k_1,k_2$ — количества в первых двух. Старая сумма $S=S_1+S_2+S_3$, новая $=10S_1+3k_1+10S_2+7k_2+S_3$.

а) Хотим рост в 8 раз. Возьмём в первую группу число $1$ ($\to 13$), во вторую — число $8$ ($\to 87$), в третью — число $4$ (не меняется). Была сумма $1+8+4=13$, стала $13+87+4=104=8\cdot 13$. Ровно в 8 раз — да, могла.

б) Число из второй группы растёт в $\dfrac{10n+7}{n}=10+\dfrac{7}{n}\le 17$ раз (максимум 17 при $n=1$), из первой — в $10+\dfrac{3}{n}\le 13$ раз, а третья группа не растёт вовсе. Новая сумма — это все числа, умноженные на свои множители, поэтому она не больше $17S$, и ровно $17S$ было бы, лишь если бы каждое число росло в 17 раз. Но в третьей группе есть неизменное число (множитель 1), поэтому строго меньше. В 17 раз сумма вырасти не могла — нет.

в) Ищем наибольший множитель роста. Третья группа тянет вниз (её числа не растут), поэтому делаем её как можно легче — одно самое маленькое число $1$. Если в первых двух группах числа дают сумму $P=S_1+S_2$, то отношение новой суммы к старой равно $\dfrac{10P+3k_1+7k_2+1}{P+1}=10+\dfrac{3k_1+7k_2-9}{P+1}$. Прибавка $7$ за число второй группы выгоднее прибавки $3$ за число первой, поэтому в первую группу отдаём лишь одно число, а остальные малые — во вторую. Перебирая, где остановиться, максимум получаем на числах $\{1;2;3;4;5;6\}$: число $1$ — в третью группу, число $2$ — в первую (станет $23$), числа $3,4,5,6$ — во вторую (станут $37,47,57,67$). Тогда старая сумма $1+2+3+4+5+6=21$, новая $=1+23+(37+47+57+67)=1+23+208=232$, а отношение $\dfrac{232}{21}\approx 11{,}05$. Больше сделать нельзя: добавлять числа $\ge 7$ невыгодно (их множитель уже меньше текущего среднего), поэтому наибольший рост суммы равен $\dfrac{232}{21}$ раза.