Числа разбили на три непустые группы. К первой приписали справа цифру 3 (n\to 10n+3), ко второй — цифру 7 (n\to 10n+7), третью не трогали. Пусть S_1,S_2,S_3 — суммы групп, k_1,k_2 — количества в первых двух. Старая сумма S=S_1+S_2+S_3, новая =10S_1+3k_1+10S_2+7k_2+S_3.

а) Хотим рост в 8 раз. Возьмём в первую группу число 1 (\to 13), во вторую — число 8 (\to 87), в третью — число 4 (не меняется). Была сумма 1+8+4=13, стала 13+87+4=104=8\cdot 13. Ровно в 8 раз — да, могла.

б) Число из второй группы растёт в \dfrac{10n+7}{n}=10+\dfrac{7}{n}\le 17 раз (максимум 17 при n=1), из первой — в 10+\dfrac{3}{n}\le 13 раз, а третья группа не растёт вовсе. Новая сумма — это все числа, умноженные на свои множители, поэтому она не больше 17S, и ровно 17S было бы, лишь если бы каждое число росло в 17 раз. Но в третьей группе есть неизменное число (множитель 1), поэтому строго меньше. В 17 раз сумма вырасти не могла — нет.

в) Ищем наибольший множитель роста. Третья группа тянет вниз (её числа не растут), поэтому делаем её как можно легче — одно самое маленькое число 1. Если в первых двух группах числа дают сумму P=S_1+S_2, то отношение новой суммы к старой равно \dfrac{10P+3k_1+7k_2+1}{P+1}=10+\dfrac{3k_1+7k_2-9}{P+1}. Прибавка 7 за число второй группы выгоднее прибавки 3 за число первой, поэтому в первую группу отдаём лишь одно число, а остальные малые — во вторую. Перебирая, где остановиться, максимум получаем на числах \{1;2;3;4;5;6\}: число 1 — в третью группу, число 2 — в первую (станет 23), числа 3,4,5,6 — во вторую (станут 37,47,57,67). Тогда старая сумма 1+2+3+4+5+6=21, новая =1+23+(37+47+57+67)=1+23+208=232, а отношение \dfrac{232}{21}\approx 11{,}05. Больше сделать нельзя: добавлять числа \ge 7 невыгодно (их множитель уже меньше текущего среднего), поэтому наибольший рост суммы равен \dfrac{232}{21} раза.