Сначала найдём наибольшую годовую прибыль. Как функция выпуска x она равна P(x)=px-(0{,}5x^2+2x+6)=-0{,}5x^2+(p-2)x-6. Это парабола ветвями вниз, поэтому наибольшее значение — в её вершине.

Вершина при x=\dfrac{p-2}{2\cdot 0{,}5}=p-2. Подставим это значение выпуска: P_{\max}=-0{,}5(p-2)^2+(p-2)(p-2)-6=0{,}5(p-2)^2-6 млн рублей в год.

«Окупится не больше чем за 3 года» означает, что прибыль за три года покроет стоимость постройки: 3P_{\max}\ge 78. Подставляем: 3\left(0{,}5(p-2)^2-6\right)\ge 78, то есть 0{,}5(p-2)^2-6\ge 26, далее 0{,}5(p-2)^2\ge 32 и (p-2)^2\ge 64.

Значит p-2\ge 8 (цена положительна, поэтому вариант p-2\le -8 отпадает), откуда p\ge 10. Наименьшее значение — p=10.

Проверим: при p=10 выгодный выпуск x=p-2=8, годовая прибыль 0{,}5\cdot 64-6=26 млн, за три года — 78 млн, ровно стоимость завода. Всё сходится.