Вклады — Задание 13 ЕГЭ по математике №00022331

Сначала найдём наибольшую годовую прибыль. Как функция выпуска $x$ она равна $P(x)=px-(0{,}5x^2+2x+6)=-0{,}5x^2+(p-2)x-6$. Это парабола ветвями вниз, поэтому наибольшее значение — в её вершине.

Вершина при $x=\dfrac{p-2}{2\cdot 0{,}5}=p-2$. Подставим это значение выпуска: $P_{\max}=-0{,}5(p-2)^2+(p-2)(p-2)-6=0{,}5(p-2)^2-6$ млн рублей в год.

«Окупится не больше чем за 3 года» означает, что прибыль за три года покроет стоимость постройки: $3P_{\max}\ge 78$. Подставляем: $3\left(0{,}5(p-2)^2-6\right)\ge 78$, то есть $0{,}5(p-2)^2-6\ge 26$, далее $0{,}5(p-2)^2\ge 32$ и $(p-2)^2\ge 64$.

Значит $p-2\ge 8$ (цена положительна, поэтому вариант $p-2\le -8$ отпадает), откуда $p\ge 10$. Наименьшее значение — $p=10$.

Проверим: при $p=10$ выгодный выпуск $x=p-2=8$, годовая прибыль $0{,}5\cdot 64-6=26$ млн, за три года — $78$ млн, ровно стоимость завода. Всё сходится.