Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00022125

Точка минимума — это ямка, где функция сначала падает, а потом снова растёт. Найти её помогает производная: она ловит момент, когда падение сменяется ростом.

Берём производную: $y' = 3x^2 - 54x$.

Приравниваем к нулю: $3x^2 - 54x = 0$, выносим множитель — $3x(x - 18) = 0$, значит $x = 0$ или $x = 18$.

Смотрим знаки. Между $0$ и $18$ производная отрицательная (функция падает), а правее $18$ положительная (функция растёт). В точке $18$ падение сменилось ростом — это дно-минимум.

А в точке $x = 0$ рост сменяется падением — там максимум, он не нужен.

Значит, точка минимума $x = 18$.