Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00022124

Точка максимума — это горка, где функция сначала поднимается, а потом идёт вниз. Поймать её помогает производная: она показывает, где рост сменяется падением.

Берём производную: $y' = 3x^2 + 54x$.

Приравниваем её к нулю, чтобы найти подозрительные точки: $3x^2 + 54x = 0$. Выносим общий множитель: $3x(x + 18) = 0$, значит $x = 0$ или $x = -18$.

Теперь смотрим на знаки. Левее $-18$ производная положительная — функция растёт; между $-18$ и $0$ отрицательная — функция падает. Раз в точке $-18$ рост сменился падением, это и есть вершина-максимум.

А в точке $x = 0$ наоборот: падение сменяется ростом — это минимум, он нам не нужен.

Значит, точка максимума $x = -18$.