Неравенства… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00014427

Перед нами дробь, и знак её определяется знаками числителя и знаменателя. Главная идея — упростить логарифм в знаменателе.

ОДЗ: аргумент логарифма положителен (это выполнено при всех $x$, так как $c\cdot a^{x}\gt 0$), а знаменатель не равен нулю, то есть $\log_3\left(9\cdot 3^{x}\right)\ne 0$.

Разложим числитель на множители:

$$x^{2} + 2 x=x \left(x + 2\right).$$

Теперь знаменатель. По свойству логарифма степени $\log_3\left(9\cdot 3^{x}\right)$ сводится к выражению, пропорциональному показателю $x + 2$ (множитель $\log_3 a>0$ знак не меняет). Значит знак знаменателя совпадает со знаком $x + 2$.

Дробь сводится к виду, который решается методом интервалов. С учётом выколотой точки (где знаменатель равен нулю) получаем:

$$x\in (-\infty;\ -2)\cup(-2;\ 0].$$

Типичная ошибка: забыть выколоть точку, где знаменатель равен нулю (аргумент логарифма равен 1) — её обязательно исключают из ответа.