Неравенства… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00014423

Главную роль здесь играет основное логарифмическое тождество: $a^{\log_a t}=t$ при $t>0$. С его помощью «тяжёлое» слагаемое со степенью и логарифмом превратится в обычное выражение.

Сначала запишем область допустимых значений (ОДЗ). Под логарифмом стоит $3^{x}-1$, требуем $3^{x}-1\gt 0$, то есть $3^{x}\gt 1$, откуда $x>0$. ОДЗ: $x\in(0;+\infty)$.

Теперь применим тождество к первому слагаемому: $2^{\log_2\left(3^{x} - 1\right)}=3^{x} - 1$. Неравенство становится алгебраическим:

$$3^{x} + 9^{x} -12\leqslant 0.$$

Сделаем замену $t=2^{x}$ (при этом $t>0$) и разложим на множители; затем вернёмся к $x$ и пересечём с ОДЗ.

Итог (с учётом ОДЗ): $$x\in (0;\ 1].$$

Типичная ошибка: применить тождество $a^{\log_a t}=t$, забыв про ОДЗ $t>0$ — тогда в ответ попадут лишние точки. Здесь ОДЗ обязательно пересекаем с решением.