ID: 00014416
а) Решите уравнение $\sin^2 x+\cos^2\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{2}$.
б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{13\pi}{2};\ \dfrac{15\pi}{2}\right]$.
Источник: Основная волна ЕГЭ 2026
В левой части стоят квадраты синуса и косинуса. Чтобы решить такое уравнение, удобно понизить степень — перейти к функциям двойного угла.
Здесь сначала понизим степень: применим $\sin^2 x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}$ и $\cos^2\alpha=\dfrac{1+\cos 2\alpha}{2}$, после чего раскроем $\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{2}\right)=-\sin 2x$.
После упрощения уравнение распадается на произведение:
$$\sin x\,(\sin x-\cos x)=0.$$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю — отсюда $\sin x=0$ или $\sin x=\cos x$ (то есть $\operatorname{tg} x=1$).
Мы получили ответ пункта а) — это все корни уравнения.
Перейдём к пункту б): из найденной серии выберем корни, попадающие в отрезок $\left[\dfrac{13\pi}{2};\ \dfrac{15\pi}{2}\right]$.
Отметим на тригонометрической окружности дугу, отвечающую этому отрезку (её начало и конец), и нанесём точки серии решений. В отрезок попадают только те, что лежат на дуге.
На отрезке оказываются корни: $x=7\pi$; $x=\dfrac{29\pi}{4}$.
Это ответ пункта б).
Совет. Отбор корней на ЕГЭ нужно показывать рисунком (окружность с дугой и отмеченными точками) или явным двойным неравенством для $k$ — иначе пункт б могут не зачесть даже при верном числовом ответе.
а) $\pi k;\ \dfrac{\pi}{4}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$; б) $7\pi; \dfrac{29\pi}{4}$