Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00014416

В левой части стоят квадраты синуса и косинуса. Чтобы решить такое уравнение, удобно понизить степень — перейти к функциям двойного угла.

Здесь сначала понизим степень: применим $\sin^2 x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}$ и $\cos^2\alpha=\dfrac{1+\cos 2\alpha}{2}$, после чего раскроем $\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{2}\right)=-\sin 2x$.

После упрощения уравнение распадается на произведение:

$$\sin x\,(\sin x-\cos x)=0.$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю — отсюда $\sin x=0$ или $\sin x=\cos x$ (то есть $\operatorname{tg} x=1$).

Мы получили ответ пункта а) — это все корни уравнения.

Перейдём к пункту б): из найденной серии выберем корни, попадающие в отрезок $\left[\dfrac{13\pi}{2};\ \dfrac{15\pi}{2}\right]$.

Отметим на тригонометрической окружности дугу, отвечающую этому отрезку (её начало и конец), и нанесём точки серии решений. В отрезок попадают только те, что лежат на дуге.

На отрезке оказываются корни: $x=7\pi$; $x=\dfrac{29\pi}{4}$.

Это ответ пункта б).

Совет. Отбор корней на ЕГЭ нужно показывать рисунком (окружность с дугой и отмеченными точками) или явным двойным неравенством для $k$ — иначе пункт б могут не зачесть даже при верном числовом ответе.