Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00014392

В функции есть $\ln x$, поэтому область определения — только положительные $x$, то есть $x\gt 0$. Точку минимума найдём через производную.

Дифференцируем по слагаемым; производная $\ln x$ равна $\dfrac{1}{x}$:

$$y'=2x-5-\dfrac{42}{x}.$$

Приравняем производную к нулю. Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части на $x\gt 0$:

$$2x^{2}-5x-42=0.$$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

$$D=5^{2}+4\cdot 2\cdot 42=361=19^{2}.$$

Корни:

$$x=\dfrac{5\pm 19}{4}\;\Rightarrow\;x=6\quad\text{или}\quad x=-3{,}5.$$

Отрицательный корень не входит в область определения $x\gt 0$, остаётся только $x=6$.

Проверим знак производной вокруг $x=6$: левее (например при $x=1$) числитель $2-5-42$ отрицателен — функция убывает; правее (при $x=10$) $20-5-4{,}2$ положителен — функция возрастает. Знак меняется с минуса на плюс, значит $x=6$ — точка минимума.