Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00013996

ОДЗ: $x + 11 > 0$, то есть $x > -11$ — отрезок $[-10{,}5; 0]$ целиком внутри.

Производная: $y' = 9 - \dfrac{9}{x+11}$.

Нуль производной: $\dfrac{9}{x+11} = 9$, отсюда $x + 11 = 1$ и $x = -10$.

Как дробь: $y' = 9\cdot\dfrac{x + 10}{x+11}$. До $x = -10$ производная отрицательна (функция падает), после — положительна (растёт). Смена «вниз-вверх» — это минимум, и точка $x = -10$ входит в отрезок.

Подставляем, помня, что $\ln 1 = 0$: $y(-10) = 9\cdot(-10) - 9\ln(1) + 7 = -90 - 0 + 7 = -83$.