Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00013995

ОДЗ логарифма: $x + 7 > 0$, то есть $x > -7$ — весь отрезок $[-6{,}5; 0]$ сюда попадает.

Производная: $y' = \dfrac{9}{x+7} - 9$.

Нуль производной: $\dfrac{9}{x+7} = 9$, значит $x + 7 = 1$ и $x = -6$.

В виде дроби $y' = 9\cdot\dfrac{-6 - x}{x+7}$: до $x = -6$ производная положительна (функция растёт), после — отрицательна (падает). Перелом «вверх-вниз» — это максимум, и точка $x = -6$ лежит внутри отрезка.

Подставляем, помня, что $\ln 1 = 0$: $y(-6) = 9\ln(1) - 9\cdot(-6) + 4 = 0 + 54 + 4 = 58$.